Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2007 жыл

$ABC$ сүйір бұрышты, теңбүйірлі емес үшбұрышы берілсін. $H$ нүктесі осы үшбұрыштың ортоцентрі, ал $O$ және $I$ нүктелері осы үшбұрышқа сырттай және іштей сызылған шеңберлердің центрлері болсын. $OIH$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер, $A$ төбесі арқылы өтеді. Үшбұрыштың бір бұрышы $60{}^\circ$ екенін дәлелдеңіз. ( из материалов олимпиад )

Комментарий/решение

Б.О.О. в четырехугольнике $BHIO$ внутренние углы $\angle B, \angle I$ в сумме дают больше $180^\circ$. Тогда раз $IA$ - биссектриса $HAO$, то $IO=IH$, следовательно $C \in (HIO)$. Поэтому $\angle AOC=2\angle ABC=\angle AHC=180^\circ-\angle ABC$, значит $\angle ABC=60^\circ.$