Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2007 жыл

Келесі шарттарды қанағаттандыратын, $X$ көпмүшесі мен оның ішкі көпмүшелері ${{Y}_{1}}$, ${{Y}_{2}}$, $\ldots$ ${{Y}_{31}}$ үшін табылатын ең үлкен нақты $k$-ны анықтаңыз:
1) $X$ көпмүшесінің кез-келген екі мүшесі үшін, олардың ешқайсысын қамтымайтын ${{Y}_{i}}$ ішкі көпмүшесі табылады.
2) Қосындысы 1-ге тең, теріс емес ${{\alpha }_{i}}$ сандарын ${{Y}_{i}}$ ішкі көпмүшелерімен кез-келген салыстыруда, $X$ көпмүшесінен, ${{Y}_{i}}$ ішкі көпмүшесінің барлық мүшелерімен салыстырылған ${{\alpha }_{i}}$ сандарының қосындысы $k$ дан кем емес. ( И. Богданов, Г. Челноков )