Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2006 жыл

Жазықтықта $A$ және $B$ нүктелері, және де $B$ нүктесі арқылы өтетін $l$ түзуі берілсін. $l$ түзуімен $B$ нүктесінде жанасатын және $A$ нүктесін қамтымайтын кез-келген $\omega $ шеңбері берілісін. $\omega $ шеңберіне $A$ нүктесі арқылы жүргізілген жанамалар осы шеңбермен $X$ және $Y$ нүктелерінде жанасады. $XY$ түзуі, $\omega$ шеңберінің таңдалымына тәуелсіз, бекітілген нүкте арқылы өтетінін дәлелдеңіз. ( Ф. Бахарев )

Комментарий/решение

Пусть $Г$ - окружность, которая касается $l$ в точке $B$ и проходит через $A$. Рассмотрим $C$ - радикальный центр $A,Г,\omega$. $C$ является точкой пересечения касательной к $Г$ в точке $A$(рад.ось $Г$,$A$) и $l$(рад.ось $Г$,$\omega$), то есть $C$ фиксирована. При этом несложно убедится, что радикальная ось $A$ и $\omega$ это средняя линия $\triangle AXY(||XY)$. Значит $XY$ проходит через $C'$, такую, что $C$ середина $AC'$