Математикадан аудандық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 11 сынып

$AB \parallel EF$ болатын $ABCD$ және $EFGH$ бірлік квадраттарының қиылысу ауданы $1/16$-ге тең. Осы квадраттардың центрлерінің ара қашықтығының ең аз мүмкін мәнін тап.

Комментарий/решение

Впишем в координатную плоскость $XOY$ наш единичный квадрат $ABCD$ , по условию $AB || EF$ значит $CD || HG$ . Определим координаты вершин $A(0,0), \ D(0,1) , \ B(1,0) , \ C(1,1)$ . Положим что вершина $E(x,y)$ , тогда остальные вершины второго единичного квадрата , будут иметь координаты $F(x+1,y) , G(x+1,y+1) , H(x,y+1)$ . Определим так же точки пересечения этих прямых , $N(x,1)$ и $M(1,y)$ где $N \in HE , \ M \in FE$ . Тогда центры первого и второго квадрата будут иметь координаты $O _ { 1 } ( \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{2}) , \ O _ { 2 } ( x + \dfrac{1}{4} , y + \dfrac{1}{4})$ . По условию известно что $S_{NCME } = \dfrac{1}{16}$ . Откуда получаем $(1-y)(1-x) = \dfrac{1}{16}$ , расстояние между центрами $O_{1}O_{2} = \sqrt{(x-\dfrac{1}{4})^2 + (y-\dfrac{1}{4})^2}$ , выразив с первого $y$ через $x$ , и подставляя , получим $O_{1}O_{2} = \sqrt{(x-\dfrac{1}{4})^2 + \dfrac{(12x-11)^2}{(16(x-1))^2}}$ . Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{(x-\dfrac{1}{4})^2 + \dfrac{(12x-11)^2}{(16(x-1))^2}}$ , найдя производную , которая равна $f'(x) = \dfrac{(4x-3)(4x-5)(16x^2-20x+5)}{128(x-1)^3 \cdot 2\sqrt{(x-\dfrac{1}{4})^2 + \dfrac{(12x-11)^2}{(16(x-1))^2}}}$ , $x \ne 1$ , а сумма квадратов $\geq 0$. Получим четыре критических точек $x=\dfrac{3}{4} , \ x=\dfrac{5}{4} , \ x = \dfrac{5 \pm \sqrt{5}}{8}$ . Минимальное значение достигается при $x=\dfrac{5 \pm \sqrt{5}}{8}$ , которая равна $\dfrac{\sqrt{7}}{4}$ . $O_{1}O_{2} \geq \dfrac{\sqrt{7}}{4}$ .