Processing math: 21%

Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 11 класс


Найдите все пары натуральных чисел (m,n), удовлетворяющие следующему условию: сумма первых m нечетных натуральных чисел на 212 больше суммы первых n четных натуральных чисел.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
1 года 2 месяца назад #

пред. Правка 2   2
1 года 2 месяца назад #

Алғашқы R натурал сандардың қосындысы

S=(R+1)24+(2+R1)(R1)4

Мұндағы R – тақ сан, (R+1)24 бастапқы m тақ сан,

(2+R1)(R1)4 - бастапқы n жұп натурал сандар қосындысы. R – 1 = t деп белгілейміз.

І тәсіл. Сонымен, есеп шарты бойынша

\frac{(R+1)^2}{4} - \frac{(2+t)t}{4} = 212 \Rightarrow R^2 + 2R + 1 – 2t - t^2 = 848 \, (t – жұп сан)

(R – t)(R + t) + 2(R – t) = 847

(R – t)(R + t + 2) = 7 \cdot 112

1) R-t=7, , R+t+2=121 , R=63, t =56

2) R-t=11, R+t+2=77 , R=43, t=32

3) R-t=1, R+t+2=847 , R=423, t=422

4) R-t=7, R+t+2=11 , R=8, t=1 (болуы мүмкін емес, өйткені бізде R – тақ, ал t – жұп сандар)}

а) жағдай. 2m – 1 = 63, 2n = 56 \Rightarrow m = 32, n = 28

ә) жағдай. 2m – 1 = 43, 2n = 32 \Rightarrow m = 22, n = 16

б) жағдай. 2m – 1 = 423, 2n = 422 \Rightarrow m = 212, n = 211

Жауап: (32;28), (22;16), (212;211)

ІІ тәсіл.

\frac{(1+2m-1)m}{2} - \frac{(2+2n)n}{2} = 212 \Rightarrow m^2 - n^2 - n = 212

болатын n – ге қатысты квадрат теңдеу аламыз:

D = \frac{1}{4} + m^2 – 212 \geq 0 \Rightarrow m \geq \frac{11\sqrt{2}}{2}, \, m > n

Егер m = n + 1 болса, онда m = 212, n = 211 болады. m \neq \frac{11\sqrt{2}}{2}, m > 15, осыдан, m – нің мәндері теңдеудің түбірлері болатындай етіп, іріктеп алатынымыз m = 22 және m = 32.

Енді m \leq 212 болатындығын көрсетейік. Келесі қосынды берілсін

1 +2 +3 + \ldots + m

мұндағы m тақ сан болсын. Егер тағы да есеп шартына жүгінсек, онда

\frac{(1+2m-1)m}{2} - \frac{(2+2m-2)(m-1)}{2} = m,

яғни m \leq 212.