Математикадан аудандық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 11 сынып

$ABCD$ ромбында $\angle B={{60}^{\circ }}$. Ромбтың ішінен $\angle APC={{120}^{\circ }}$, $BP=3$ және $DP=2$ болатындай етіп $P$ нүктесі алынған. $AP$ және $CP$ кесінділерінің ұзындықтарының айырмасын тап.

Комментарий/решение

Так как точка $P$ находится внутри ромба, то около четырехугольника $CBAP$ можно описать, следует из суммы противоположных углов окружность. То есть точка $P$ находится на окружности описанной около правильного треугольника $ \Delta ABC$. Опишем так же около треугольника $\Delta ADC$ окружность , обе эти окружности равны , так как исходный четырехугольник - Ромб , выберем на этой окружности (окружность $O_{ADC}$) такую точку $P'$ которая симметрична $P$. Получим что параллелограмм $APCP'$ тогда $PD=BP'$ положим что $X$ - $AP \cap P'D$ тогда треугольник $ \Delta ADX$ равен $ \Delta APC$. Тогда $b=DX=AP=BP-CP=3-CP$ и $PX=CP-AP = 2b-3$ , тогда по теореме косинусов

$2^2 = (2b-3)^2 + (3-b)^2-2 \cdot (2b-3)(3-b) \cdot cos(120^{\circ})$ , откуда получаем $PX=CP-AP = \sqrt{ \dfrac{7}{3} } $