Математикадан аудандық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 11 сынып

Әрбір $x\in (g,h)$ үшін $f(x)f(x-1) < 0$ және $f(x)f(x+1) < 0$ болатындай бос емес $(g,h)$ интервалы табылатын барлық $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c$ функцияларын анықтаңдар.

Комментарий/решение

$a>0$ болсын. ($a<0$ жағдайы осыған ұқсас).

Айталық $ax^2+bx+c>0$ болсын. $ax^2+bx+c<0$ аналогично. Сонда келесі үш теңсіздіктің шешімін қиылыстырамыз

$ax^2+bx+c>0$

$a(x-1)^2+b(x-1)+c<0$

$a(x+1)^2+b(x+1)+c<0$.

Әр теңсіздіктің шешімі сәйкесінше келесідей болады

$(-\infty;g)U(h;+\infty)$

$(g-1;h-1)$

$(g+1;h+1)$.

Ал бұл аралықтардың ортақ шешімі табылмайды. Яғни $f(x)=ax^2+bx+c$ функциясы табылмайды