Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2001 год

Множество натуральных чисел разбито на непересекающиеся множества $N_1$ и $N_2$ такие, что разность чисел, лежащих в одном множестве, не является простым числом, большим 100. Найдите все такие разбиения. ( Н. Седракян )

Комментарий/решение

$$\mathbb{N}=\mathbb{N}_1 \cup \mathbb{N}_2:$$

$$(i)\qquad \mathbb{N}_1 \cap \mathbb{N}_2=\varnothing$$

$$(ii)\qquad \forall x,y \in \mathbb{N}_1,\mathbb{N}_2: |x-y|\ne p>100 , \quad p \in \mathbb{P}$$

Пусть $x$—произвольное натуральное число. Предположим, что $x\in \mathbb{N}_1.$ Тогда по условию $(ii)$ числа $x+101, \quad x+103, \quad x+107,...$ должны принадлежать множеству $\mathbb{N}_2.$ Так как $x+103-(x+2)=101$, число $x+2$ должно попасть в $\mathbb{N}_1.$ Заметим, что элементы $x,\quad x+2$ лежат на одном множестве $(\mathbb{N}_1)$. Для определенности cчитаем, $x-$ четное.Следовательно, по условию $(i)$ все четные числа должны лежат в том же множестве, что и $x$.(Аналогично, если $x-$ нечетное число, то множество $\mathbb{N}_1$ состоит из нечетных чисел). Существует единственное разбиение: одно из множеств содержит все нечетные числа, а другое — все четные.