Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2000 жыл


ABC сүйір бұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрін O деп белгілейік. OAB, OBC, OCA үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері дұрыс үшбұрыштың төбелерінде жатыр. ABC дұрыс үшбұрыш екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    

  1
4 года 7 месяца назад #

Доказательство громоздкое, буду рад если кто-нибудь выложит более красивое и короткое решение

1)OA=OB=OC=R-следует из того, что O центр описанной вокруг ABC окружности

2) Пусть ODAB;DAB OEBC;EBC OFAC;FAC

3) Теорема: два прямоугольных треугольника равны, если у них равны гипотенузы и один катет.

4) Из (2,3) следует, что AOD=BOD BOE=COE AOF=COF

5)Из (4) следует, что AOD=BOD=α;BOE=COE=β;AOF=COF=γ

6) AOD+BOD+BOE+EOC+COF+FOA=360

7) Из (5,6) следует, что α+α+β+β+γ+γ=360γ=180(α+β)

8) Теорема: центр описанной окружности треугольника лежит на пресечении серединных перпендикуляров сторон.

9) Пусть S середина отрезка OA;T середина отрезка OB;P середина отрезка OC

10) Проведём из точек S,T,P перпендикуляры, тогда SM,TM,TN,PN,PK,SK серединные перпендикуляры отрезков AO,OB,OB,OC,OC,AO соответственно

11) Заметим, что точка M находится на пересечении серединных перпендикуляров SM и TM, значит, M центр описанной окружности для AOB. Это следует из (8). Аналогично точка N центр описанной окружности для BOC и точка K центр описанной окружности для AOC

12) Рассчитаем длины сторон MNK, то есть треугольника, соединяющего центра описанных окружностей треугольников AOB,AOC,BOC. Воспользуемся фактом, что sinγ=sin(180(α+β))=sin(α+β)

MN=MT+TN=MOsinα+ONsinβ

NK=NP+PC=ONsinβ+OKsin(α+β)

MK=MS+SK=OMsinα+OKsin(α+β)

13)Найдём длины отрезков MO,ON,OK

MO=RAOB=AOOBAB4SAOB

ON=RBOC=BOBCOC4SBOC

OK=RAOC=AOOCAC4SAOC

14) Рассмотрим числители выражений (13)

AO=OB=R;AB=2DB=2OBsinα=2Rsinα

BO=OC=R;BC=2BE=2OBsinβ=2Rsinβ

AO=OC=R;AC=2FC=2OCsin(α+β)=2Rsin(α+β)

  1
4 года 7 месяца назад #

15) Рассмотрим знаменатели выражений (13)

4SAOB=412AOOBsin(2α)=2R2sin(2α)

4SBOC=412BOOCsin(2β)=2R2sin(2β)

4SAOC=412AOOCsin(2(α+β))=2R2sin(2(α+β))

16)Подставим (14,15) в (13)

MO=2R3sinα2R2sin(2α)=Rsinαsin(2α)=Rsinα2sinαcosα=R2cosα

ON=2R3sinβ2R2sin(2β)=Rsinβsin(2β)=Rsinβ2sinβcosβ=R2cosβ

OK=2R3sin(α+β)2R2sin(2(α+β))=Rsin(α+β)sin(2(α+β))=Rsin(α+β)2sin(α+β)cos(α+β)=R2cos(α+β)

17)Результаты (16) подставим в (12)

MN=R2cosαsinα+R2cosβsinβ=12R(tgα+tgβ)

NK=R2cosβsinβ+R2cos(α+β)sin(α+β)=12R(tgβ+tg(α+β))

MK=R2cosαsinα+R2cos(α+β)sin(α+β)=12R(tgα+tg(α+β))

18) Заметим, что MNK правильный (по условию). Значит, MN=NK=MK. То есть tgα+tgβ=tgα+tg(α+β)=tgβ+tg(α+β) Также заметим, что α<90,β<90. Вычтем из среднего выражение правое

tgα+tg(α+β)tgβtg(α+β)=0tgαtgβ=0 В силу того, что альфа и бета- острые углы, делаем вывод, что α=β

19) Вычтем из левого уравнения среднее.

tgα+tgβtgαtg(α+β)=0tgβtg(α+β)=0 В силу того, что α=β, имеем уравнение tgβ+tg(2β)=0

20) Решив (19), получим α=β=γ=60

21) В выражениях (14) подставим (20), получим AB=BC=AC=R3. Значит, раз все стороны у треугольника ABC равны, то он-правильный. Это завершает доказательство.

  1
4 года 7 месяца назад #

Одним файлом он не хотел загружаться

  2
4 года 7 месяца назад #

Пусть DEF есть правильный треугольник, вершины которого центры окружностей AOB,BOC,COA соответственно, пусть A,B,O такие точки на плоскости что DE,DF серединные перпендикуляры к OB,OA соответственно и OD серединный перпендикуляр к AB тогда DB=DO=DA и OB=OA то есть O лежит на биссектрисе EDF или ADO,BDO правильные треугольники проделывая аналогичные рассуждения для остальных двух , откуда O лежит на биссектрисе DEF, DFE откуда ABCDEF правильный шестиугольник или ABC правильный.