Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2000 жыл
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Доказательство громоздкое, буду рад если кто-нибудь выложит более красивое и короткое решение
1)OA=OB=OC=R-следует из того, что O− центр описанной вокруг △ABC окружности
2) Пусть OD⊥AB;D∈AB OE⊥BC;E∈BC OF⊥AC;F∈AC
3) Теорема: два прямоугольных треугольника равны, если у них равны гипотенузы и один катет.
4) Из (2,3) следует, что △AOD=△BOD △BOE=△COE △AOF=△COF
5)Из (4) следует, что ∠AOD=∠BOD=α;∠BOE=∠COE=β;∠AOF=∠COF=γ
6) ∠AOD+∠BOD+∠BOE+∠EOC+∠COF+∠FOA=360∘
7) Из (5,6) следует, что α+α+β+β+γ+γ=360∘→γ=180∘−(α+β)
8) Теорема: центр описанной окружности треугольника лежит на пресечении серединных перпендикуляров сторон.
9) Пусть S− середина отрезка OA;T− середина отрезка OB;P− середина отрезка OC
10) Проведём из точек S,T,P перпендикуляры, тогда SM,TM,TN,PN,PK,SK− серединные перпендикуляры отрезков AO,OB,OB,OC,OC,AO соответственно
11) Заметим, что точка M находится на пересечении серединных перпендикуляров SM и TM, значит, M− центр описанной окружности для △AOB. Это следует из (8). Аналогично точка N− центр описанной окружности для △BOC и точка K− центр описанной окружности для △AOC
12) Рассчитаем длины сторон △MNK, то есть треугольника, соединяющего центра описанных окружностей треугольников △AOB,△AOC,△BOC. Воспользуемся фактом, что sinγ=sin(180∘−(α+β))=sin(α+β)
MN=MT+TN=MO⋅sinα+ON⋅sinβ
NK=NP+PC=ON⋅sinβ+OK⋅sin(α+β)
MK=MS+SK=OM⋅sinα+OK⋅sin(α+β)
13)Найдём длины отрезков MO,ON,OK
MO=R△AOB=AO⋅OB⋅AB4⋅S△AOB
ON=R△BOC=BO⋅BC⋅OC4⋅S△BOC
OK=R△AOC=AO⋅OC⋅AC4⋅S△AOC
14) Рассмотрим числители выражений (13)
AO=OB=R;AB=2⋅DB=2⋅OB⋅sinα=2Rsinα
BO=OC=R;BC=2⋅BE=2⋅OB⋅sinβ=2Rsinβ
AO=OC=R;AC=2⋅FC=2⋅OC⋅sin(α+β)=2Rsin(α+β)
15) Рассмотрим знаменатели выражений (13)
4⋅S△AOB=4⋅12⋅AO⋅OB⋅sin(2α)=2R2⋅sin(2α)
4⋅S△BOC=4⋅12⋅BO⋅OC⋅sin(2β)=2R2⋅sin(2β)
4⋅S△AOC=4⋅12⋅AO⋅OC⋅sin(2(α+β))=2R2⋅sin(2(α+β))
16)Подставим (14,15) в (13)
MO=2R3⋅sinα2R2⋅sin(2α)=Rsinαsin(2α)=Rsinα2sinα⋅cosα=R2cosα
ON=2R3⋅sinβ2R2⋅sin(2β)=Rsinβsin(2β)=Rsinβ2sinβ⋅cosβ=R2cosβ
OK=2R3⋅sin(α+β)2R2⋅sin(2(α+β))=Rsin(α+β)sin(2(α+β))=Rsin(α+β)2sin(α+β)⋅cos(α+β)=R2cos(α+β)
17)Результаты (16) подставим в (12)
MN=R2cosα⋅sinα+R2cosβ⋅sinβ=12⋅R⋅(tgα+tgβ)
NK=R2cosβ⋅sinβ+R2cos(α+β)⋅sin(α+β)=12⋅R⋅(tgβ+tg(α+β))
MK=R2cosα⋅sinα+R2cos(α+β)⋅sin(α+β)=12⋅R⋅(tgα+tg(α+β))
18) Заметим, что △MNK− правильный (по условию). Значит, MN=NK=MK. То есть tgα+tgβ=tgα+tg(α+β)=tgβ+tg(α+β) Также заметим, что α<90∘,β<90∘. Вычтем из среднего выражение правое
tgα+tg(α+β)−tgβ−tg(α+β)=0→tgα−tgβ=0 В силу того, что альфа и бета- острые углы, делаем вывод, что α=β
19) Вычтем из левого уравнения среднее.
tgα+tgβ−tgα−tg(α+β)=0→tgβ−tg(α+β)=0 В силу того, что α=β, имеем уравнение tgβ+tg(2β)=0
20) Решив (19), получим α=β=γ=60∘
21) В выражениях (14) подставим (20), получим AB=BC=AC=R√3. Значит, раз все стороны у треугольника ABC равны, то он-правильный. Это завершает доказательство.
Пусть DEF есть правильный треугольник, вершины которого центры окружностей AOB,BOC,COA соответственно, пусть A,B,O такие точки на плоскости что DE,DF серединные перпендикуляры к OB,OA соответственно и OD серединный перпендикуляр к AB тогда DB=DO=DA и OB=OA то есть O лежит на биссектрисе ∠EDF или ADO,BDO правильные треугольники проделывая аналогичные рассуждения для остальных двух , откуда O лежит на биссектрисе ∠DEF, ∠DFE откуда ABCDEF правильный шестиугольник или ABC правильный.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.