Математикадан аудандық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 11 сынып
n2+n+5 саны толық квадрат болатындай барлық натурал n санын тап.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Берілген өрнекті келесі түрге келтіреміз
n2+2⋅n⋅k2+(k2)2. Сонда берілген өрнек келесі түрге келеді
n2+2n⋅k2+n+5−nk
Қысқаша көбейту формуласы бойынша (k2)2=n+5−kn болатыны айқын. Ортақ бөлімге келтіріп, түрлендірулер жүргізіп келесі теңдіктерді аламыз
k2+4kn−4n=20
k2−1+4n(k−1)=19
(k−1)(k+1)+4n(k−1)=19
(k−1)(k+1+4n)=19=1⋅19=19⋅1=−1⋅(−19)=−19⋅(−1)
Осы теңдеудің барлық мүмкін жағдайларын қарастырып n=4 екенін аламыз
Если n>4 (n−4>0). Тогда n2<n2+n+5<n2+2n+1=(n+1)2. А между
n2 и (n+1)2 не может быть квадрат целого числа.
n=1 ⇒ 1+1+5=7 ∅
n=2 ⇒ 4+2+5=11 ∅
n=3 ⇒ 9+3+5=17 ∅
n=4 ⇒ 16+4+5=25+52
Ответ n=4
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.