Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2000 жыл

Ромбыға іштей сызылған шеңбер, ромбының $AB$ және $BC$ қабырғаларымен, сәйкесінше $E'$ және $F'$ нүктелерінде жанасады. Жанама $l$ түзуі $AB$ және $BC$ қабырғаларын $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $AE\cdot CF$ көбейтіндісі $l$ жанамасының таңдалылмына тәуелсіз екендігін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пусть $O \in AC \cap BD$ и $H$ точка симметричная $E$ относительно $BO$, получается $\angle EOF = 180^{\circ} - \dfrac{\angle FEA}{2} - \dfrac{ \angle EFC}{2} = 90^{\circ} - \dfrac{ \angle EBH }{2}$ то есть $FHOE$ вписанная в $\omega$ и так как $AB=BC$ тогда $AO$ касательная к $\omega$ значит $BO^2 = CH \cdot CF = AE \cdot CF$ то есть не зависит от выбора касательной.