Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2015 год

Решите систему уравнений $\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} 2x\left( 1+y+{{y}^{2}} \right)=3\left( 1+{{y}^{4}} \right), \\ 2y\left( 1+z+{{z}^{2}} \right)=3\left( 1+{{z}^{4}} \right), \\ \end{matrix} \\ 2z\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)=3\left( 1+{{x}^{4}} \right). \\ \end{matrix} \right.$

Комментарий/решение

Рассмотрим функцию $x(y)=\frac{3(1+y^4)}{2(1+y+y^2)}$. Поскольку $x'(y)>0$ при всех $y$ ,то $x(y)$ возрастает. Система имеет вид $x=x(y)$, $y=y(z)$, $z=z(x)$ т.е. $x=f(f(f(x)))$.

Согласно теореме $x$ удовлетворяет уравнению $x=f(x)$:

$$\frac{3(1+x^4)}{2(1+x+x^2)}=x\Rightarrow 3x^4-2x^3-2x^2-2x+3=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow (x-1)^2(3x^2+4x+3)=0\Rightarrow x=1$$

ответ:$(1,1,1)$

Теорема. Если $y=f(x)$ -монотонно возрастающая функция то уравнения $x=f(x)$ и $x=f(f(x))$ эквивалентны.