Городская олимпиада «Аль-Фараби» по физике, 9 сынып

По шоссе равномерно движется длинная колонна автомобилей. Расстояния между соседними автомобилями в колонне одинаковы. Едущий по шоссе в том же направлении инспектор ГИБДД обнаружил, что если его скорость равна $ \vartheta_1 = 36$ км/ч, то через каждые $ t_1 = 10$ с его обгоняет автомобиль из колонны, а при скорости $ \vartheta_2 = 90$ км/ч через каждые $ t_2 = 20$ с он обгоняет автомобиль из колонны. Через какой промежуток времени будут проезжать автомобили колонны мимо инспектора, если он остановится?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: 5 с.
Пусть $u$ — скорость колонны автомобилей, $l$ — расстояние между автомобилями в колонне. Тогда \[{{t}_{1}}=l/\left( u-{{\vartheta }_{1}} \right); \quad {{t}_{2}}=l/\left( {{\vartheta }_{2}}-u \right).\] Вычитая из первого выражения второе, находим: \[u=\frac{{{\vartheta }_{1}}{{t}_{1}}+{{\vartheta }_{2}}{{t}_{2}}}{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}.\] Умножая первое выражение на $t_2$, а второе — на $t_1$ и складывая их, найдём $l$: \[l=\frac{\left( {{\vartheta }_{2}}-{{\vartheta }_{1}} \right){{t}_{1}}{{t}_{2}}}{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}.\] Отсюда промежуток времени, через который мимо неподвижного инспектора будут проезжать автомобили, равен: \[t=\frac{l}{u}=\frac{\left( {{\vartheta }_{2}}-{{\vartheta }_{1}} \right){{t}_{1}}{{t}_{2}}}{{{\vartheta }_{1}}{{t}_{1}}+{{\vartheta }_{2}}{{t}_{2}}}=\frac{\left( 25\frac{m}{c}-10\frac{m}{c} \right)\cdot 10c\cdot 20c}{10\frac{m}{c}\cdot 10c+25\frac{m}{c}\cdot 20c}=5c.\]