Математикадан 55-ші халықаралық олимпиада, 2014 жыл, Кейптаун
ABC сүйірбұрышты үшбұрышының BC қабырғасында ∠PAB=∠BCA және ∠CAQ=∠ABC болатындай P және Q нүктелері белгіленген. P нүктесі AM кесіндісінің ортасы және Q нүктесі AN кесіндісінің ортасы болатындай AP және AQ түзулерінде сәйкесінше M және N нүктелері алынған. BM және CN түзулері ABC үшбұрышының сырттай сызылған шеңберінде қиылысатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть X≡BM∩CN.
NQQC=ABQC=BPAP=BPPM, причем ∠CQN=∠BPM=180−∠A, Из чего следует что △NCQ∼△BMP; то есть, ∠QBX=∠QNX, так что BQXN вписанный
Теперь заметим что ∠BXC=180−∠BXN=180−∠BQN=180−∠AQC=180−∠A
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.