Математикадан 55-ші халықаралық олимпиада, 2014 жыл, Кейптаун

$ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышының $BC$ қабырғасында $\angle PAB=\angle BCA$ және $\angle CAQ=\angle ABC$ болатындай $P$ және $Q$ нүктелері белгіленген. $P$ нүктесі $AM$ кесіндісінің ортасы және $Q$ нүктесі $AN$ кесіндісінің ортасы болатындай $AP$ және $AQ$ түзулерінде сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелері алынған. $BM$ және $CN$ түзулері $ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберінде қиылысатынын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Пусть $X \equiv BM \cap CN$.

$\frac{NQ}{QC} = \frac{AB}{QC} = \frac{BP}{AP} = \frac{BP}{PM}$, причем $\angle CQN = \angle BPM = 180 - \angle A$, Из чего следует что $\triangle{NCQ} \sim \triangle{BMP}$; то есть, $\angle QBX = \angle QNX$, так что $BQXN$ вписанный

Теперь заметим что $\angle BXC = 180 - \angle BXN = 180 - \angle BQN = 180 - \angle AQC = 180 - \angle A$

Заметим,что касательные к описанной окружности $ABC$ в точках $B,C$ параллельны прямым $AP,AQ$ соответственно.Пусть касательные к описанной окружности треугольника $ABC$ проведенные из вершин $B,C$ пересекаются в точке $X$ а вот $XA\cap (ABC)=A,D;AP\cap BD=M’;CD\cap AQ=N’$ тогда $(AM’;PP_{\infty})\stackrel{B}{=}(AD;CB)=-1\Leftrightarrow M=M’$.Аналогично $N=N’$ откуда вытекает условие задачи