Математикадан 54-ші халықаралық олимпиада, 2013 жыл, Санта Марта

$n\ge 3$ натурал саны болсын. Шеңберді тең доғаларға бөлетін $n+1$ нүкте шеңбердің бойында алынған. Барлық нүктелерді белгілеу үшін $1$, $2$, $\ldots $, $n$ сандардан әр сан тек бір рет пайдаланып барлық тәсілдерді қарастырайық; осындай екі тәсілден біреуі шеңбер айналып екіншісі шықса, олар бірдей деп санайды. Егер $a+d=b+c$ болатын $a < b < c < d$ кез келген нүктелердің белгілерге $a$ және $d$ белгілермен нүктелерді қосатын хордасы $b$ және $c$ белгілермен нүктелерді қосатын хордасымен қиылыспайтын болса, онда осындай белгілеуінің тәсілін әдемі деп атаймыз.
$M$ — барлық әдемі белгілеулерінің тәсілдердің саны болсын, ал $x+y\le n$ және ЕҮОБ$(x,y) = 1$ болатын барлық $(x,y)$ натурал сандарының реттелген жұптардың саны $N$ болсын. $M=N+1$ екенін дәлелдеңдер.