Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 54-ші халықаралық олимпиада, 2013 жыл, Санта Марта


Кез келген k және n натурал сандары үшін, 1+2k1n=(1+1m1)(1+1m2)(1+1mk) теңдігі орындалатындай m1,m2,,mk натурал сандар (әртүрлі болуға міндетті емес) табылатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
1 года 4 месяца назад #

Будем делать индукцию по k:

k=1: берем m1=n и получаем всё что надо для всех n

Далее пусть для k=x мы можем выбрать такие m1,m2,mx, что для любого натурального n будет выполняться равенство, которое надо доказать.

Теперь посмотрим на k=x+1:

1 случай: Выберем mx+1=2n1, тогда:(1+1mx+1)(n+2x1n)=(2n2n1)(n+2x1n)=(2n1+2x+112n1)

Из выше описанного, мы можем сказать, что для пары чисел (x+1;2n1), где 2n1 - любое нечетное натуральное число, мы сможем найти такие m1,m2,mx+1 чтобы равенство из условия выполнялось.

2 случай: Выберем mx+1=2n+2x+12, тогда (1+1mx+1)(n+2x1n)=(2n+2x+112n+2x+12)(n+2x1n)=(2n+2x+112n)

Из выше описанного, мы можем сказать, что для пары чисел (x+1;2n), где 2n - любое четное натуральное число, мы сможем найти такие m1,m2,mx+1 чтобы равенство из условия выполнялось.

Сл-но, для всех n при k=x+1 мы можем найти такие m1,m2,mx+1 чтобы равенство из условия выполнялось. А зн-т мы доказали индукцию по k.

Задача доказана.