Математикадан 54-ші халықаралық олимпиада, 2013 жыл, Санта Марта
Комментарий/решение:
Будем делать индукцию по k:
k=1: берем m1=n и получаем всё что надо для всех n
Далее пусть для k=x мы можем выбрать такие m1,m2⋯,mx, что для любого натурального n будет выполняться равенство, которое надо доказать.
Теперь посмотрим на k=x+1:
1 случай: Выберем mx+1=2n−1, тогда:(1+1mx+1)(n+2x−1n)=(2n2n−1)(n+2x−1n)=(2n−1+2x+1−12n−1)
Из выше описанного, мы можем сказать, что для пары чисел (x+1;2n−1), где 2n−1 - любое нечетное натуральное число, мы сможем найти такие m1,m2⋯,mx+1 чтобы равенство из условия выполнялось.
2 случай: Выберем mx+1=2n+2x+1−2, тогда (1+1mx+1)(n+2x−1n)=(2n+2x+1−12n+2x+1−2)(n+2x−1n)=(2n+2x+1−12n)
Из выше описанного, мы можем сказать, что для пары чисел (x+1;2n), где 2n - любое четное натуральное число, мы сможем найти такие m1,m2⋯,mx+1 чтобы равенство из условия выполнялось.
Сл-но, для всех n при k=x+1 мы можем найти такие m1,m2⋯,mx+1 чтобы равенство из условия выполнялось. А зн-т мы доказали индукцию по k.
Задача доказана.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.