Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 53-ші халықаралық олимпиада, 2012 жыл, Мар-дель-Плата


BCA=90 болатын ABC үшбұрышы берілген, D нүктесі C төбесінен түсірілген биіктіктің табаны. CD кесіндісінің ішінен X нүктесі алынған. BK=BC болатындай AX кесіндісінен K нүктесі алынған. Дәл осылай, AL=AC болатындай BX кесіндісінен L нүктесі алынған. MAL және BK кесінділерінің қиылысу нүктесі. MK=ML екенін дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
2 года 11 месяца назад #

Отразим С относительно D в R . Легко увидеть что B центр (CKR) и A центр (CLR). Пусть AX(CKR)=P и BX(CLR)=Q. Заметим что PX×XA=CX×XR=LX×XQ значит PLKQ-вписанный. Заметим что AL2=AC2=AK×AP и BK2=BC2=BL×BQ значит AL и BK касаются (PLKQ) в L и K соответственно. Отсюда легко увидеть что LM=MK

  3
7 месяца 16 дней назад #

Пусть описанная окружность треугольника ADL пересекает прямую DC в точке U. Тогда, AUD=ALD. Также, AL2=AC2=ADAB, и, следовательно, AUD=LBD=XBD. Это означает, что треугольники UAD и BXD подобны, следовательно,UDBD=ADXD. Следовательно, треугольники UDB и AXD также подобны, и поэтому BUD=DAX. Однако, аналогично можно заключить, что DAX=DKB, и, таким образом, BDKU вписан. Но теперь окружности ADLU и BDKU имеют диаметры AU и BU, следовательно, ALU=BKU=90. Кроме того, точка U также лежит на CD; следовательно, перпендикуляры из точек K,L,D на прямые BM,AM,AB пересекаются в одной точке, которой является U. По теореме Карно мы имеем то что (BK2KM2)+(ML2LA2)+(AD2DB2)=0, что, исходя из равенств AL=AC,BK=BC, и AD2DB2=(AD2+DC2)(DC2+DB2)=AC2CB2, немедленно даёт MK=ML, что и требовалось доказать.