Математикадан 53-ші халықаралық олимпиада, 2012 жыл, Мар-дель-Плата
Комментарий/решение:
Отразим С относительно D в R . Легко увидеть что B центр (CKR) и A центр (CLR). Пусть AX∩(CKR)=P и BX∩(CLR)=Q. Заметим что PX×XA=CX×XR=LX×XQ значит PLKQ-вписанный. Заметим что AL2=AC2=AK×AP и BK2=BC2=BL×BQ значит AL и BK касаются (PLKQ) в L и K соответственно. Отсюда легко увидеть что LM=MK
Пусть описанная окружность треугольника ADL пересекает прямую DC в точке U. Тогда, ∠AUD=∠ALD. Также, AL2=AC2=AD⋅AB, и, следовательно, ∠AUD=∠LBD=∠XBD. Это означает, что треугольники UAD и BXD подобны, следовательно,UDBD=ADXD. Следовательно, треугольники UDB и AXD также подобны, и поэтому ∠BUD=∠DAX. Однако, аналогично можно заключить, что ∠DAX=∠DKB, и, таким образом, BDKU вписан. Но теперь окружности ADLU и BDKU имеют диаметры AU и BU, следовательно, ∠ALU=∠BKU=90∘. Кроме того, точка U также лежит на CD; следовательно, перпендикуляры из точек K,L,D на прямые BM,AM,AB пересекаются в одной точке, которой является U. По теореме Карно мы имеем то что (BK2−KM2)+(ML2−LA2)+(AD2−DB2)=0, что, исходя из равенств AL=AC,BK=BC, и AD2−DB2=(AD2+DC2)−(DC2+DB2)=AC2−CB2, немедленно даёт MK=ML, что и требовалось доказать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.