51-я Международная Математическая OлимпиадаКазахстан, Астана, 2010 год

Дана последовательность ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, ${{a}_{3}}$, $\ldots$, состоящая из положительных действительных чисел. Известно, что для некоторого фиксированного целого положительного $s$ при всех $n > s$ выполняется равенство ${{a}_{n}}=\max \{{{a}_{k}}+{{a}_{n-k}}|1\le k\le n-1\}.$ Докажите, что существуют целые положительные числа $\ell$ и $N$ такие, что $\ell \le s$, и ${{a}_{n}}={{a}_{\ell }}+{{a}_{n-\ell }}$ при всех $n\ge N$.

Комментарий/решение

Допустим это неверно. Но по условию это надо доказать, что значит, что это является верным утверждением. А значит это противоречие предположению. Поэтому это верно => доказано