Processing math: 95%

Математикадан 50-ші халықаралық олимпиада, 2009 жыл, Бремен


Оң бүтін сандар жиынында анықталған және мәндерін оң бүтін сандар жиынынан қабылдайтан, оған қоса кез келген оң бүтін a және b сандары үшін a, f(b), f(b+f(a)1) сандары азғындалмаған үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығы болатындай, барлық f функциясын анықтаңдар (төбелері бір түзудің бойында жатпайтын үшбұрышты азғындалмаган дейміз).
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
1 года 10 месяца назад #

Ответ 5

пред. Правка 2   1
1 года 10 месяца назад #

Используем общеизвестный факт который гласит:

В невырожденном треугольнике сумма длин двух сторон больше чем длинна третьей стороны

P(a,b)(1,1)

f(1)=f(f(1))

P(a,b)(1,f(1))

f(1)=f(2f(1)1)

f(1)=1+k

P(a,b)(1,b)

f(b)=f(b+k)

Для любого b

P(a,b)(mk+1,1)

f(1+f(mk+1)1)+f(1)>mk+1

f(1)=f(1+k)=f(1+2k)==f(mk+1)

f(f(1))=f(1)

2f(1)>mk+1

Внезависимости от выбора числа m

2k+2>mk+1

1>mk2kk=0

P(a,b)(a,1)

a=f(f(a))

f(x)=f(y)

f(f(x))=f(f(y))

x=y

f(x) инъективная

P(a,b)(2,b)

f(2)1=k

f(b)+4>f(b+k)+2>f(b)

f(b+k)=f(b),f(b)1,f(b)+1

f(b+k)=f(b) аналогичен случаю f(1)1

f(b+k)=f(b)1

f(b+k)=f(b+2k)1=f(b+kn)+n1

f(b)n=f(b+kn)

n=f(b)1

1=f(b+f(b)kf(b))

b=2

f(1)=f(2+(k)2)

Поскольку f(x) инъективная

(k)2=1

f(b+k)=f(b)+1

f(b+kn)=f(b)+n

f(1+kn)=n+1

f(k2+1)=f(2)

k2+1=2

k2=1k=1

Раз: f(1+nk)=n+1

То: f(n+1)=n+1

Значит: f(x)=x

Ответ: f(x)=x

  0
1 года 10 месяца назад #

У меня вопрос, откуда получили, что f(1)=f(f(1))?

  0
1 года 10 месяца назад #

f(1)+1>f(1+f(1)1)

f(1+f(1)1)+1>f(1)

Что дает нам равенство этих двух значений

пред. Правка 2   1
4 месяца 27 дней назад #

P(1,a):

f(1)=f(a+f(1)1)

Если f(1)1 то f периодично с константой k=|f(1)1|.

a>f(b)+f(b+f(a)1).Увеличиваем a на k и выйдет противоречие.Значит f(1)=1.

P(a,1):

f(f(a))=a

Значит очевидно f биективная.Пусть n такое что f(n)=2.Докажем что f(k)=(k1)nk+2 по индукции.Пусть это верно для всех k=1,2,..k

P(k,n):

k+2>f(knk+1)>k

f((k1)nk+2)=k

f(n²-2n+2)=n=f(f(n))=f(2)

n²-2n+2=2 и n=2.

f(x)=x