Математикадан 50-ші халықаралық олимпиада, 2009 жыл, Бремен
Комментарий/решение:
Используем общеизвестный факт который гласит:
В невырожденном треугольнике сумма длин двух сторон больше чем длинна третьей стороны
P(a,b)→(1,1)
f(1)=f(f(1))
P(a,b)→(1,f(1))
f(1)=f(2f(1)−1)
f(1)=1+k
P(a,b)→(1,b)
f(b)=f(b+k)
Для любого b
P(a,b)→(mk+1,1)
f(1+f(mk+1)−1)+f(1)>mk+1
f(1)=f(1+k)=f(1+2k)=⋯=f(mk+1)
f(f(1))=f(1)
2f(1)>mk+1
Внезависимости от выбора числа m
2k+2>mk+1
1>mk−2k→k=0
P(a,b)→(a,1)
a=f(f(a))
f(x)=f(y)
f(f(x))=f(f(y))
x=y
f(x)− инъективная
P(a,b)→(2,b)
f(2)−1=k
f(b)+4>f(b+k)+2>f(b)
f(b+k)=f(b),f(b)−1,f(b)+1
f(b+k)=f(b) аналогичен случаю f(1)≠1
f(b+k)=f(b)−1
f(b+k)=f(b+2k)−1=…f(b+kn)+n−1
f(b)−n=f(b+kn)
n=f(b)−1
1=f(b+f(b)k−f(b))
b=2
f(1)=f(2+(k)2)
Поскольку f(x)− инъективная
(k)2=−1→∅
f(b+k)=f(b)+1
f(b+kn)=f(b)+n
f(1+kn)=n+1
f(k2+1)=f(2)
k2+1=2
k2=1→k=1
Раз: f(1+nk)=n+1
То: f(n+1)=n+1
Значит: f(x)=x
Ответ: f(x)=x
f(1)+1>f(1+f(1)−1)
f(1+f(1)−1)+1>f(1)
Что дает нам равенство этих двух значений
P(1,a):
f(1)=f(a+f(1)−1)
Если f(1)≠1 то f периодично с константой k=|f(1)−1|.
a>f(b)+f(b+f(a)−1).Увеличиваем a на k и выйдет противоречие.Значит f(1)=1.
P(a,1):
f(f(a))=a
Значит очевидно f биективная.Пусть n такое что f(n)=2.Докажем что f(k)=(k−1)n−k+2 по индукции.Пусть это верно для всех k=1,2,..k
P(k,n):
k+2>f(kn−k+1)>k
f((k−1)n−k+2)=k
f(n²-2n+2)=n=f(f(n))=f(2)
n²-2n+2=2 и n=2.
f(x)=x
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.