Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

46-я Международная Математическая Oлимпиада
Мексика, Мериде, 2005 год


Дан выпуклый четырехугольник ABCD, стороны BC и AD которого равны, но не параллельны. Пусть E и F — такие внутренние точки отрезков BC и AD соответственно, что BE=DF. Прямые AC и BD пересекаются в точке P, прямые BD и EF пересекаются в точке Q, прямые EF и AC пересекаются в точке R. Рассмотрим треугольники PQR, получаемые для всех таких точек E и F. Докажите, что окружности, описанные около всех этих треугольников, имеют общую точку, отличную от P.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  7
2 года 4 месяца назад #

Пусть T будет точкой, описанной выше. Понятно, что TA=TC,TB=TD и angleATC=angleBTD, поэтому треугольники TAC,TDB похожи (и TAC - это изображение TDB через спиральное сходство, центрированное на T). Также легко заметить, что TFE похож на эти два треугольника.

TFR=TAR, поэтому TAFR является циклическим, поэтому TRA=TFA. Точно так же мы показываем, что TQB=TEB=πTEC=πTFA (фигуры TBCE,TDAF совпадают), и из этих двух соотношений находим, что TRP+TQP=π, т.е. T лежит на всех кругах PQR.

  4
2 года 4 месяца назад #

Запиши angle на LaTeXe

А так решение красивое

пред. Правка 2   3
2 года 3 месяца назад #

Радиусы описанных окружностей около AFR,ECR пусть которые равны w1, w2 равны, так как AF=CE из условия, откуда AFsinARF=CEsinARF=2R, значит если Hw1w2 получается CAH=ACH как углы опирающийся на дугу HR в равных окружностях, откуда HA=HC так же и HF=HE откуда треугольники AHF=CEH откуда DFH=BEH значит HB=HD, проведя такие же рассуждения только для окружностей описанных около BEQ,FQD пусть для которой H1 есть точка пересечения этих окружностей, получается H1A=H1C, H1B=H1D откуда H1=H так как точка пересечения серединных перпендикуляров единственна, получается HAR=HFR=HEQ=HBQ=HDQ откуда HADP лежат на одной окружности, но HPA=FDH=HQR то есть HPQR описанный, значит это фиксированная точка, есть точка пересечений серединных перпендикуляров к AC,BD