Районная олимпиада, 2005-2006 учебный год, 8 класс

Точки $L$ и $M$ — середины сторон $AB$ и $BC$, соответственно, прямоугольника $ABCD$ и $P$ — точка пересечения отрезков $CL$ и $AM$. Найдите угол $LDM$, если известно, что $\angle MPC =30^\circ$.

Комментарий/решение

Ответ: $30^\circ$

$\angle MDL=x$

$\angle ADL=y$

MD кесіндісін қосамыз. Сонда $\triangle AMD$ тең бүйірлі үшбұрыш.

$$\angle PAL=90^\circ-x-y$$

$$\angle MPC=\angle LPA=30^\circ$$

$$\angle CLB=\angle LPA+\angle PAL=30^\circ+90^\circ-x-y=120^\circ-x-y$$

$$\angle BLC=\angle LCD=120^\circ-x-y$$ себебі АВ мен СД параллель

$$\angle LCD=\angle LDC=120^\circ-x-y. Себебі \triangle LCD тең бүйірлі$$

$$\angle LDC=90^\circ-y, \angle LDC=\angle LCD$$

$$90^\circ-y=120^\circ-x-y$$

$$x=30^\circ$$