41-я Международная Математическая OлимпиадаРеспублика Корея, Тайджон, 2000 год

У фокусника 100 карточек, занумерованных натуральными числами от 1 до 100. Он раскладывает все карточки в три ящика — красный, белый и синий — так, чтобы в каждом ящике лежала хотя бы одна карточка. Один из зрителей выбирает два из трех ящиков, вынимает из них по одной карточке и объявляет сумму номеров вытянутых карточек. Зная эту сумму, фокусник определяет тот ящик, из которого карточки не вынимались. Сколькими различными способами можно разложить карточки по ящикам так, чтобы этот фокус всегда удавался? (Способы, при которых хотя бы одна карточка попадает в разные ящики, считаются различными.)

Комментарий/решение

Можно ли, вдохновившись некоторыми решениями, основанными на производящих функциях, превратить следующее наблюдение в решение? :

Мы ищем ненулевые полиномы $f_{1,2,3}$ с коэффициентами 0 или 1, такие, что:

(i) $ f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)=\sum_{i=1}^{100} x^i$,

и (ii) показатели степени в $ f_{1}f_{2}$, $ f_{1}f_{3}$, $ f_{2}f_{3}$ различны.

Я пытался найти хорошую математическую формулировку второго условия и не смог найти...

[и, возможно, генерирующие функции не должны решать все проблемы...]