Математикадан 41-ші халықаралық олимпиада, 2000 жыл, Тайджон

Фокусшыда 1--ден 100-ге дейін нөмірленген 100 карта бар. Ол әрбір жәшікте кем дегенде бір карта жататындай карталарды — қызыл, ақ және көк үш жәшіктерге салады. Көрермендердің біреуі үш жәшіктің екеуін таңдап, әрбірінен бір картадан алып ондағы жазылған сандардың қосындысын айтады. Осы қосындыны біле отыра фокусшы карта алынбаған жәшікті анықтап береді. Осы фокус әрқашан орындалатындай карталарды қанша тәсілмен жәшіктерге салуға болады? (Кем дегенде бір карта әр түрлі жәшіктерге түсетін есептеу әдісі әр түрлі болып есептеледі.)

Комментарий/решение

Можно ли, вдохновившись некоторыми решениями, основанными на производящих функциях, превратить следующее наблюдение в решение? :

Мы ищем ненулевые полиномы $f_{1,2,3}$ с коэффициентами 0 или 1, такие, что:

(i) $ f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)=\sum_{i=1}^{100} x^i$,

и (ii) показатели степени в $ f_{1}f_{2}$, $ f_{1}f_{3}$, $ f_{2}f_{3}$ различны.

Я пытался найти хорошую математическую формулировку второго условия и не смог найти...

[и, возможно, генерирующие функции не должны решать все проблемы...]