41-я Международная Математическая OлимпиадаРеспублика Корея, Тайджон, 2000 год

Окружности ${{\Gamma }_{1}}$ и ${{\Gamma }_{2}}$ пересекаются в точках $M$ и $N$. Прямая $l$ — общая касательная к окружностям ${{\Gamma }_{1}}$ и ${{\Gamma }_{2}}$ такая, что точка $M$ расположена к прямой $l$ ближе, чем точка $N$. Прямая $l$ касается окружности ${{\Gamma }_{1}}$ в точке $A$, а окружности ${{\Gamma }_{2}}$ в точке $B$. Прямая, проходящая через точку $M$ параллельно $l$, пересекает вторично окружность ${{\Gamma }_{1}}$ в точке $C$, а окружность ${{\Gamma }_{2}}$ в точке $D$. Прямые $CA$ и $DB$ пересекаются в точке $E$, прямые $AN$ и $CD$ — в точке $P$, прямые $BN$ и $CD$ — в точке $Q$. Докажите, что $EP=EQ$.

Комментарий/решение

$\angle ACM$ = $\angle BAM$ = $\angle EAB$ , $\angle BDM$ = $\angle ABM$ = $\angle EBA$. Значит $\triangle EAB = \triangle MAB \Rightarrow AB \bot EM$ $\Rightarrow EM \bot CD$ . Прямая $MN$ проходит через середину $AB$, следовательно $PM = QM$. Значит $\triangle EPQ$ - равнобедренный и $EP = EQ$.