Математикадан 41-ші халықаралық олимпиада, 2000 жыл, Тайджон

${{\Gamma }_{1}}$ және ${{\Gamma }_{2}}$ шеңберлері $M$ және $N$ нүктелерінде қиылысады. $M$ нүктесі $N$ нүктесіне қарағанда $l$ түзуіне жақын болатындай ${{\Gamma }_{1}}$ және ${{\Gamma }_{2}}$ шеңберлеріне $l$ ортақ жанама түзуі жүргізілген. $l$ түзуі ${{\Gamma }_{1}}$ шеңберін $A$ нүктесінде, ал ${{\Gamma }_{2}}$ шеңберін $B$ нүктесінде жанайды. $l$ түзуіне параллель $M$ нүктесі арқылы өтетін түзу, ${{\Gamma }_{1}}$ шеңберін екінші рет $C$ нүктесінде, ал ${{\Gamma }_{2}}$ шеңберін $D$ нүктесінде қияды. $CA$ және $DB$ түзулері $E$ нүктесінде қиылысады, $AN$ және $CD$ түзулері $P$ нүктесінде, ал $BN$ және $CD$ түзулері $Q$ нүктесінде қиылысады. $EP=EQ$ екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

$ \angle ACM $ = $\angle BAM $ = $ \angle EAB $ , $ \angle BDM $ = $\angle ABM$ = $\angle EBA $. Значит $ \triangle EAB = \triangle MAB \Rightarrow AB \bot EM $ $ \Rightarrow EM \bot CD $ . Прямая $MN$ проходит через середину $AB$, следовательно $PM = QM$. Значит $\triangle EPQ$ - равнобедренный и $EP = EQ$.