39-я Международная Математическая OлимпиадаТайвань, Тайбэй, 1998 год

Найдите все пары $\left( a,b \right)$ натуральных чисел такие, что ${{a}^{2}}b+a+b$ делится на $a{{b}^{2}}+b+7$.

Комментарий/решение

$(a^2b+a+b)b-(ab^2+b+7)a$ делится на $ab^2+b+7$, $\Rightarrow b^2-7a$ делится на $ab^2+b+7$

Если и $b^2=7a$, то решений бесконечно много: $b=7x, a=7x^2$ для всех $x$ натуральных.

Если $b^2-7a>0, то b^2-7a \geq ab^2+b+7, \rightarrow a=1$, но там тоже противоречие

Тогда $7a-b^2 \geq ab^2+b+7$, тут уже перебор вариантов ($b=1, 2$)