Математикадан 37-ші халықаралық олимпиада, 1996 жыл, Мумбаи
AB∥ED, BC∥FE және CD∥AF болатындай ABCDEF дөңес алтыбұрышы берілсін. FAB, BCD, DEF үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің радиустарын RA, RC, RE деп, ал алтыбұрыш периметрін P деп белгілейміз. RA+RC+RE≥P/2 екенін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
∠BAF=α⇒∠LAF=π−α∠FED=β⇒∠MEN=π−β∠BCD=γ⇒∠DCS=π−γ
FL⊥AL⇒AL=AFcos(π−α)=−AFcosα⇒LF=AFsinα⇒
KB⊥AK⇒AK=ABcos(π−α)=−ABcosα⇒BK=ABsinα
KL=√AL2+AK2−2AL⋅AKcosα=√AF2cos2α+AB2cos2α−2AB⋅AFcos3α=
=|cosα|√AF2+AB2−2AB⋅AFcosα=BF|cosα|⇒KL≤BF
LF+BK=(AF+AB)sinα≤BF⇒AF+AB≤BFsinα=BF⋅AB⋅AFAB⋅AFsinα⇒
⇒AF+AB2≤BF⋅AB⋅AF2AB⋅AFsinα=BF⋅AB⋅AF4⋅12AB⋅AFsinα=BF⋅AB⋅AF4⋅S△ABF=RA⇒
⇒AF+AB2≤RA
Точно также получаем
BC+CD2≤RC
EF+ED2≤RE
Теперь, складывая все эти неравенства, имеем
AB+BC+CD+DE+EF+FA2=P2≤RA+RE+RC
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.