Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 37-ші халықаралық олимпиада, 1996 жыл, Мумбаи


ABED, BCFE және CDAF болатындай ABCDEF дөңес алтыбұрышы берілсін. FAB, BCD, DEF үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің радиустарын RA, RC, RE деп, ал алтыбұрыш периметрін P деп белгілейміз. RA+RC+REP/2 екенін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
6 года 10 месяца назад #

BAF=αLAF=παFED=βMEN=πβBCD=γDCS=πγ

FLALAL=AFcos(πα)=AFcosαLF=AFsinα

KBAKAK=ABcos(πα)=ABcosαBK=ABsinα

KL=AL2+AK22ALAKcosα=AF2cos2α+AB2cos2α2ABAFcos3α=

=|cosα|AF2+AB22ABAFcosα=BF|cosα|KLBF

LF+BK=(AF+AB)sinαBFAF+ABBFsinα=BFABAFABAFsinα

AF+AB2BFABAF2ABAFsinα=BFABAF412ABAFsinα=BFABAF4SABF=RA

AF+AB2RA

Точно также получаем

BC+CD2RC

EF+ED2RE

Теперь, складывая все эти неравенства, имеем

AB+BC+CD+DE+EF+FA2=P2RA+RE+RC