Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 11 класс
Какое из чисел больше $2006^{2008} \cdot 2008^{2006}$ или $2007^{2\cdot 2007}$? Почему?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Положим что $2006^{2008 } \cdot 2008^{2006} < 2007^{2 \cdot 2007}$
$2008\cdot ln2006 + 2006 \cdot ln 2008 < (2006+2008)\cdot ln2007$
что тоже самое что
$2006 \cdot ln\dfrac{2008}{2007} < 2008 \cdot ln \dfrac{2007}{2006}$
так как $ln\dfrac{1}{2007} < ln\dfrac{1}{2006}$ , то и неравенство верное , значит положение было верным.
$2007=t$ деп белгілеу енгіземіз.
Сонда келесі
$(t-1)^{t+1}\cdot(t+1)^{t-1}$ және $t^{2t}$ теңдігін салыстыру керек.
Ол үшін келесі теңсіздіктер ретін жазамыз
$(t-1)^{t+1}\cdot(t+1)^{t-1}$=$(t-1)^{t-1}\cdot(t+1)^{t-1}\cdot(t-1)^2$=$(t^2-1)^{t-1}\cdot(t-1)^2$<$(t^2)^{t-1}\cdot t^2$=
$t^{2t-2+2}=t^{2t}$
$(t-1)^{t+1}\cdot(t+1)^{t-1}$ $<$ $t^{2t}$
Жауабы: $2007^{2\cdot2007}$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.