Математикадан аудандық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып

Қайсысы үлкен: ${{2008}^{2006}}\cdot {{2006}^{2008}}$ ме әлде ${{2007}^{2007}}$ ме? Неліктен?

Комментарий/решение

Положим что $2006^{2008 } \cdot 2008^{2006} < 2007^{2 \cdot 2007}$

$2008\cdot ln2006 + 2006 \cdot ln 2008 < (2006+2008)\cdot ln2007$

что тоже самое что

$2006 \cdot ln\dfrac{2008}{2007} < 2008 \cdot ln \dfrac{2007}{2006}$

так как $ln\dfrac{1}{2007} < ln\dfrac{1}{2006}$ , то и неравенство верное , значит положение было верным.

$2007=t$ деп белгілеу енгіземіз.

Сонда келесі

$(t-1)^{t+1}\cdot(t+1)^{t-1}$ және $t^{2t}$ теңдігін салыстыру керек.

Ол үшін келесі теңсіздіктер ретін жазамыз

$(t-1)^{t+1}\cdot(t+1)^{t-1}$=$(t-1)^{t-1}\cdot(t+1)^{t-1}\cdot(t-1)^2$=$(t^2-1)^{t-1}\cdot(t-1)^2$<$(t^2)^{t-1}\cdot t^2$=

$t^{2t-2+2}=t^{2t}$

$(t-1)^{t+1}\cdot(t+1)^{t-1}$ $<$ $t^{2t}$

Жауабы: $2007^{2\cdot2007}$