Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

37-я Международная Математическая Oлимпиада
Индия, Мумбаи, 1996 год


Внутри треугольника ABC дана такая точка P, что APBACB=APCABC, а D и E — центры окружностей, вписанных в треугольники APB и APC соответственно. Доказать, что прямые AP, BD и CE пересекаются в одной точке.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
1 года 8 месяца назад #

Заметим, что BD,CE биссектрисы углов ABP,ACP (по свойству биссектрисы в треугольнике) задача сводиться к тому, чтобы доказать равенство BABP=CACP.

(i)

Пусть A1,B1,C1 проекции P на BC,CA,AB. Тогда из счета углов следует:

APBACB=AB1C1+BA1C1(180A1PB1)=(180CB1C1)+(180C1A1C)(180A1PB1)=

=180C1A1CCB1C1+(A1B1C+B1A1C)=180C1B1A1C1A1B1=B1C1A1. Таким образом поступаем и с правой частью равенства, что приводит к B1C1A1=A1B1C1A1C1=A1B1.

(ii)

Тогда по теореме синусов для треугольников BC1A1 и CA1B1 получаем, что:

A1C1=BPsinB2=CPsinC2.

Преобразуем данное выражение и получим:

BP/CP=sinC/sinB=AB/AC, что равносильно требуемому.

  0
9 месяца 26 дней назад #

Можно доказать AB/AC=BP/CP через инверсию. Сделаем инверсию в точке P. В силу условия следует, что AB=AC, если заменить каждый отрезок на R2XY/(PXPY), должно получиться равенство

  0
9 месяца 2 дней назад #

Инверсия с центром P с радиусом 1 тогда

ABPABC=ACPACB отсюда BP=CP

BP=CP=BPAPAB=CPACAP