36-я Международная Математическая OлимпиадаКанада, Торонто, 1995 год

Найти все целые числа $n > 3$, для которых существуют $n$ точек ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, $\ldots $, ${{A}_{n}}$ на плоскости и действительные числа ${{r}_{1}}$, ${{r}_{2}}$, $\ldots $, ${{r}_{n}}$, удовлетворяющие следующим условиям:
а) никакие три из точек ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, $\ldots $, ${{A}_{n}}$ не лежат на одной прямой;
б) для любой тройки $i,j,k$ ($1\le i < j < k\le n$) площадь треугольника ${{A}_{i}}{{A}_{j}}{{A}_{k}}$ равна ${{r}_{i}}+{{r}_{j}}+{{r}_{k}}$.

Комментарий/решение

Достаточно рассмотреть выпуклую оболочку этих n вершин. Если у нас получится хотя бы 5-угольник, то несложно вывести что все числа на этих вершинах равны (например, рассмотрев А1А2А3А4 и А1А2А3А5), тогда какие-то 3 точки будут лежать на 1 прямой. Случай с треугольником и четырехугольником несложно разбирается