Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

36-я Международная Математическая Oлимпиада
Канада, Торонто, 1995 год


Найти все целые числа n>3, для которых существуют n точек A1, A2, , An на плоскости и действительные числа r1, r2, , rn, удовлетворяющие следующим условиям:
а) никакие три из точек A1, A2, , An не лежат на одной прямой;
б) для любой тройки i,j,k (1i<j<kn) площадь треугольника AiAjAk равна ri+rj+rk.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
4 месяца 6 дней назад #

Достаточно рассмотреть выпуклую оболочку этих n вершин. Если у нас получится хотя бы 5-угольник, то несложно вывести что все числа на этих вершинах равны (например, рассмотрев А1А2А3А4 и А1А2А3А5), тогда какие-то 3 точки будут лежать на 1 прямой. Случай с треугольником и четырехугольником несложно разбирается