36-я Международная Математическая Oлимпиада
Канада, Торонто, 1995 год
Найти все целые числа n>3, для которых существуют n точек A1, A2, …, An на плоскости и действительные числа r1, r2, …, rn, удовлетворяющие следующим условиям:
а) никакие три из точек A1, A2, …, An не лежат на одной прямой;
б) для любой тройки i,j,k (1≤i<j<k≤n) площадь треугольника AiAjAk равна ri+rj+rk.
посмотреть в олимпиаде
а) никакие три из точек A1, A2, …, An не лежат на одной прямой;
б) для любой тройки i,j,k (1≤i<j<k≤n) площадь треугольника AiAjAk равна ri+rj+rk.
Комментарий/решение:
Достаточно рассмотреть выпуклую оболочку этих n вершин. Если у нас получится хотя бы 5-угольник, то несложно вывести что все числа на этих вершинах равны (например, рассмотрев А1А2А3А4 и А1А2А3А5), тогда какие-то 3 точки будут лежать на 1 прямой. Случай с треугольником и четырехугольником несложно разбирается
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.