Математикадан 36-шы халықаралық олимпиада, 1995 жыл, Торонто
Келесі шарттар орындалып, жазықтықта A1, A2, …, An — n нүктелері және r1, r2, …, rn нақты сандары табылатындай n>3 барлық бүтін сандарын табыңыздар:
а) A1, A2, …, An нүктелерінің кез келген ешбір үш нүктесі бір түзудің бойында жатпайды;
б) кез келген i,j,k (1≤i<j<k≤n) үштігі үшін AiAjAk үшбұрышының ауданы ri+rj+rk шамасына тең.
посмотреть в олимпиаде
а) A1, A2, …, An нүктелерінің кез келген ешбір үш нүктесі бір түзудің бойында жатпайды;
б) кез келген i,j,k (1≤i<j<k≤n) үштігі үшін AiAjAk үшбұрышының ауданы ri+rj+rk шамасына тең.
Комментарий/решение:
Достаточно рассмотреть выпуклую оболочку этих n вершин. Если у нас получится хотя бы 5-угольник, то несложно вывести что все числа на этих вершинах равны (например, рассмотрев А1А2А3А4 и А1А2А3А5), тогда какие-то 3 точки будут лежать на 1 прямой. Случай с треугольником и четырехугольником несложно разбирается
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.