Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 36-шы халықаралық олимпиада, 1995 жыл, Торонто


Келесі шарттар орындалып, жазықтықта A1, A2, , Ann нүктелері және r1, r2, , rn нақты сандары табылатындай n>3 барлық бүтін сандарын табыңыздар:
а) A1, A2, , An нүктелерінің кез келген ешбір үш нүктесі бір түзудің бойында жатпайды;
б) кез келген i,j,k (1i<j<kn) үштігі үшін AiAjAk үшбұрышының ауданы ri+rj+rk шамасына тең.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
4 месяца 7 дней назад #

Достаточно рассмотреть выпуклую оболочку этих n вершин. Если у нас получится хотя бы 5-угольник, то несложно вывести что все числа на этих вершинах равны (например, рассмотрев А1А2А3А4 и А1А2А3А5), тогда какие-то 3 точки будут лежать на 1 прямой. Случай с треугольником и четырехугольником несложно разбирается