Математикадан 36-шы халықаралық олимпиада, 1995 жыл, Торонто

Келесі шарттар орындалып, жазықтықта ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, $\ldots $, ${{A}_{n}}$ — $n$ нүктелері және ${{r}_{1}}$, ${{r}_{2}}$, $\ldots $, ${{r}_{n}}$ нақты сандары табылатындай $n > 3$ барлық бүтін сандарын табыңыздар:
а) ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, $\ldots $, ${{A}_{n}}$ нүктелерінің кез келген ешбір үш нүктесі бір түзудің бойында жатпайды;
б) кез келген $i,j,k$ ($1\le i < j < k\le n$) үштігі үшін ${{A}_{i}}{{A}_{j}}{{A}_{k}}$ үшбұрышының ауданы ${{r}_{i}}+{{r}_{j}}+{{r}_{k}}$ шамасына тең.

Комментарий/решение

Достаточно рассмотреть выпуклую оболочку этих n вершин. Если у нас получится хотя бы 5-угольник, то несложно вывести что все числа на этих вершинах равны (например, рассмотрев А1А2А3А4 и А1А2А3А5), тогда какие-то 3 точки будут лежать на 1 прямой. Случай с треугольником и четырехугольником несложно разбирается