Математикадан 35-ші халықаралық олимпиада, 1994 жыл, Гонконг

$AB=AC$ болатын $ABC$ теңбүйірлі үшбұрышы берілген.
а) $M$ нүктесі $BC$-ның ортасы және $OB$ мен $AB$ перпендикуляр болатындай $O$ нүктесі $AM$ түзуінің бойында жатсын;
б) $Q$ нүктесі $BC$ кесіндісінің бойындағы $B$ және $C$ нүктелерінен өзге нүкте болсын;
в) $E$ нүктесі $AB$ түзуінде, $F$ нүктесі $AC$ түзуінде жатсын және $E$, $Q$, және $F$ бір түзудің бойында жатсын(әр түрлі нүктелер).
Дәлелдеңіздер: $OQ$ және $EF$ түзулері перпендикуляр болады тек және тек сонда ғана егер $QE=QF$ болса.

Комментарий/решение

Очевидно$:$

$AC \perp OC$ $(1)$

$(i) E = B$

Тогда $F=C$

$OQ \perp BC$

$OM \perp BC$

$M=Q$

$BM=MC$ $\square$

$(ii) E \ne B$

Б.О.О. $E$ лежит за $AB$

Используя $(1)$ и $OQ \perp EF:$

$OQFC-$ вписанный

$\angle OFE = \angle OCB = \angle OBC$

$BO \cap EF \Rightarrow P$

$\triangle BPE \sim \triangle QPO \Rightarrow \triangle EPO \sim BPQ$

Значит$:$

$\angle BOE = \alpha^\circ, \angle EOB = 90-\alpha^\circ$

$\angle OQE =90^\circ$

$\angle OQB + \angle BEO = 180^\circ$

$OEBQ-$ вписанный

$\angle OEF = \angle OBC = \angle OCB = \angle OFE$

$OF=OE \Rightarrow EQ=QF$ $\square$