34-я Международная Математическая OлимпиадаТурция, Стамбул, 1993 год

Пусть $f\left( x \right)={{x}^{n}}+5{{x}^{n-1}}+3$, где $n > 1$ — целое число. Доказать, что $f\left( x \right)$ нельзя представить в виде произведения двух многочленов положительной степени с целыми коэффициентами.

Комментарий/решение

$x^n+5x^{n-1}+3$ возможно по критерию Эйзенштейна, $a_{1}=1$ делиться на $p=5$ простое, $a_{2}=5$ делится на $5$ , но $3^2$ не делится на $5$ значит он не разложим на произведения двух многочленов.

Критерий Эйзенштейна тут не подходит. Надо, чтобы все коэффициенты кроме первого делились на $p$, а тут $(3,5)=1$

Поскольку $a_n=1$, и последний коэффициент не равен $0$, причем $|5|>1+0+0+...+|3|=4$, то, по критерию Перрона, многочлен неприводим