Математикадан 34-ші халықаралық олимпиада, 1993 жыл, Стамбул

$f\left( x \right)={{x}^{n}}+5{{x}^{n-1}}+3$ болсын, мұндағы $n > 1$ — бүтін сан. $f\left( x \right)$ — ті бүтін коэффициентті дәрежелері оң болатын екі көпмүшеліктің көбейтіндісі ретінде жазуға болмайтынын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

$x^n+5x^{n-1}+3$ возможно по критерию Эйзенштейна, $a_{1}=1$ делиться на $p=5$ простое, $a_{2}=5$ делится на $5$ , но $3^2$ не делится на $5$ значит он не разложим на произведения двух многочленов.

Критерий Эйзенштейна тут не подходит. Надо, чтобы все коэффициенты кроме первого делились на $p$, а тут $(3,5)=1$

Поскольку $a_n=1$, и последний коэффициент не равен $0$, причем $|5|>1+0+0+...+|3|=4$, то, по критерию Перрона, многочлен неприводим