Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан жасөспірімдер арасындағы 17-ші Балкан олимпиадасы 2013 жыл, Анталья, Турция


ab1 болатындай барлық оң a және b нақты сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңіздер: (a+2b+2a+1)(b+2a+2b+1)16.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3 | Модератормен тексерілді
8 года 2 месяца назад #

(a+2b+2a+1)(b+2a+2b+1)16

x,y>0:(xy)20x2+y22xyxy+yx2

[1]a+12+2a+122a+12a+12a+2b+2a+1a+32+2b

[2]b+12+2b+122b+12b+12b+2a+2b+1b+32+2a

[1][2](4a+b+3)(4b+a+3)416

(4a+b+3)(4b+a+3)(5ab+3)2(5+3)2=64

  1
3 года 1 месяца назад #

Делаем AMGM для a+b2 слева и справа. Получаем что надо доказать что (b+2+2a+1)(a+2+2b+1)16. Давайте прибавим однерку к дроби, и получим: ((b+1)+a+3a+1)(b+3b+1+(a+1), используем Неравенство Коши и осталось доказать что: ((a+3)+(b+3))216, используем AMGM а потом заново Неравенство Коши и получаем нужное.

  1
1 года 11 месяца назад #

AM-GM және КШБ теңсіздігі бойынша:

(a+2b+2a+1)(b+2a+2b+1)

(b+2ab+2a+1)(a+2ab+2b+1)

(b+2+2a+1)(a+2+2b+1)=

=(b+12+b2+32+2a+1)(2b+1+a2+32+a+12)

(1+ab4+32+1)2(1+12+32+1)2=16

пред. Правка 2   0
1 года 9 месяца назад #

Заметим что, 2a+1+a+122 То есть: a+2b+2a+10,5a+2b+32

Значит: (a+2b+2a+1)(b+2a+2b+1)(0,5a+2b+32)(0,5b+2a+32)

Попробуем доказать последнее выражение больше или равно 16, а вообще, давайте умножим с обеих сторон на 4 для удобства: (!) (a+b+b+b+b+1+1+1)(b+a+a+a+1+1+1)64

Если в обеих скобках выполнить AMGM для 8 чисел и в конце использовать что ab1, задача решится.