Математикадан жасөспірімдер арасындағы 17-ші Балкан олимпиадасы 2013 жыл, Анталья, Турция
Комментарий/решение:
(a+2b+2a+1)(b+2a+2b+1)≥16
∀x,y>0:(x−y)2≥0⇒x2+y2≥2xy⇒xy+yx≥2
[1]→a+12+2a+1≥2⇒2a+1≥2−a+12⇒a+2b+2a+1≥a+32+2b
[2]→b+12+2b+1≥2⇒2b+1≥2−b+12⇒b+2a+2b+1≥b+32+2a
[1]⋅[2]→(4a+b+3)(4b+a+3)4≥16⇒
(4a+b+3)(4b+a+3)≥(5√ab+3)2≥(5+3)2=64
Делаем AM≥GM для a+b≥2 слева и справа. Получаем что надо доказать что (b+2+2a+1)(a+2+2b+1)≥16. Давайте прибавим однерку к дроби, и получим: ((b+1)+a+3a+1)(b+3b+1+(a+1), используем Неравенство Коши и осталось доказать что: (√(a+3)+√(b+3))2≥16, используем AM≥GM а потом заново Неравенство Коши и получаем нужное.
Заметим что, 2a+1+a+12≥2 То есть: a+2b+2a+1≥0,5a+2b+32
Значит: (a+2b+2a+1)(b+2a+2b+1)≥(0,5a+2b+32)(0,5b+2a+32)
Попробуем доказать последнее выражение больше или равно 16, а вообще, давайте умножим с обеих сторон на 4 для удобства: (!) (a+b+b+b+b+1+1+1)(b+a+a+a+1+1+1)≥64
Если в обеих скобках выполнить AM≥GM для 8 чисел и в конце использовать что ab≥1, задача решится.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.