Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан жасөспірімдер арасындағы 15-ші Балкан олимпиадасы 2011 жыл, Ларнака, Кипр


ABCD — дөңес төртбұрыш болсын. AB және CD қабырғаларында ABAE=CDDF=n болатындай E және F нүктелері белгіленген. SAEFD төртбұрышының ауданы болсын. Дәлелдеңіздер: SABCD+n(n1)AD2+n2DABC2n2.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
3 года 10 месяца назад #

Так как S=AFDEsinα2AFDE2 неравенство преобразуется

AFDEn2ABCD+n(n1)AD2+n2ADBC

Используя неравенство Птолемея AFDEAEDF+ADEF=ABCDn2+ADEF тогда неравенство

ADEFn2n(n1)AD2+n2ADBC

EF(n1)nAD+BC (1)

Доказательство неравенство (1) : Построим параллелограмм ADCG пусть FH||DG||AC где HCG и EM||AC где MBC тогда EMFH так же параллелограмм , так как CH=(n1)ADn но BHMH=EF но по неравенству CH+BCBH>MH=EF то есть (n1)ADn+BCEF