12-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Влёра, Албания, 2008 год

Вершины $A$ и $B$ правильного треугольника $ABC$ лежат на окружности единичного радиуса $k$, а вершина $C$ — внутри $k$. Точка $D$, отличная от $B$, лежит на окружности $k$ так, что $AD=AB$. Прямая $DC$ пересекает $k$ во второй раз в точке $E$. Найдите длину отрезка $CE$.

Комментарий/решение

Заметим что $AE$ - биссектриса $\angle DEB$ , так как $AB=AD$ , положим что угол $\angle DEB = 2a$ , из условия $\Delta ADC$ равнобедренный , так же положим что $\angle ADC = b$ , тогда $180^{\circ}-2b+2a=180^{\circ}$ из того что , четырехугольник $ADEB$ вписанный , откуда $BC \perp AE$, значит $CE=BE$ , откуда $\dfrac{BC}{2sina} = CE$ , или $CE=\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{BC}{BC}=1$ . Ответ $CE=1$ .