12-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Влёра, Албания, 2008 год

Вершины $ A$ и $ B$ правильного треугольника $ ABC$ лежат на окружности единичного радиуса $k$, а вершина $ C$ — внутри $ k$. Точка $ D$, отличная от $ B$, лежит на окружности $ k$ так, что $ AD=AB$. Прямая $ DC$ пересекает $ k$ во второй раз в точке $ E$. Найдите длину отрезка $ CE$.

Комментарий/решение

Заметим что $AE$ - биссектриса $\angle DEB$ , так как $AB=AD$ , положим что угол $\angle DEB = 2a$ , из условия $\Delta ADC$ равнобедренный , так же положим что $\angle ADC = b$ , тогда $180^{\circ}-2b+2a=180^{\circ}$ из того что , четырехугольник $ADEB$ вписанный , откуда $BC \perp AE $, значит $CE=BE$ , откуда $\dfrac{BC}{2sina} = CE$ , или $CE=\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{BC}{BC}=1$ . Ответ $CE=1$ .