Математикадан жасөспірімдер арасындағы 12-ші Балкан олимпиадасы 2008 жыл, Влёра, Албания

$ ABC$ дұрыс үшбұрышының $ A$ және $ B$ төбелері бірлік радиусты $k$ шеңберінде жатады, ал $ C$ төбесі $ k$ шеңберінің ішінде жатады. $ B$-дан өзге $ D$ нүктесі $ AD=AB$ болатындай $ k$ шеңберінде жатады. $ DC$ түзуі $ k$ шеңберін екінші рет $ E$ нүктесінде қияды. $ CE$ кесіндісінің ұзындығын табыңыздар.

Комментарий/решение

Заметим что $AE$ - биссектриса $\angle DEB$ , так как $AB=AD$ , положим что угол $\angle DEB = 2a$ , из условия $\Delta ADC$ равнобедренный , так же положим что $\angle ADC = b$ , тогда $180^{\circ}-2b+2a=180^{\circ}$ из того что , четырехугольник $ADEB$ вписанный , откуда $BC \perp AE $, значит $CE=BE$ , откуда $\dfrac{BC}{2sina} = CE$ , или $CE=\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{BC}{BC}=1$ . Ответ $CE=1$ .