Математикадан жасөспірімдер арасындағы 12-ші Балкан олимпиадасы 2008 жыл, Влёра, Албания

Төмендегідей теңдеулер жүйесі орындалатындай барлық $a$, $b$, $c$, $d$ нақты сандар төрттіктерін табыңыздар: \[ \left\{\begin{array}{cc}a + b + c + d = 20, \\ ab + ac + ad + bc + bd + cd = 150. \end{array} \right.\]

Комментарий/решение

$$ (a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$$

$$=a^2+b^2+c^2+d^2+2\cdot150=400\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=100$$

$$ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}}\geq \frac{a+b+c+d}{4} \Rightarrow$$

$$ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}} = \frac{a+b+c+d}{4} \Rightarrow a=b=c=d$$

$$ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}} =\sqrt{\frac{100}{4}} = \sqrt{25}=5$$

$$ \frac{a+b+c+d}{4}=\frac{20}{4}=5$$

$$(a,b,c,d)\equiv (5,5,5,5)$$

$a^2+b^2+c^2+d^2=100=s$

$ab+ac...+cd=150=l$

$3s-2l=0—> (a-b)^2+(a-c)^2...+(c-d)^2=0$

then $a=b=c=d$

$4a=\pm 20 \Rightarrow a=b=c=d= \pm 5$

$\LaTeX$ версия вашего поста:

$a^2+b^2+c^2+d^2=100=s$

$ab+ac+...+cd=150=l$

$3s-2l=0\implies (a-b)^2+(a-c)^2+...+(c-d)^2=0$

then $a=b=c=d\implies 4a=20\implies a=b=c=d=5.$

Писать на нём можно научится здесь: http://matol.kz/rules/3

Спасибо большое!

Абу Адилет, да?

слышал такое имя когда-то

как написать слово Latex?

Надо ввести команду: \$ \LaTeX \$

$ thx! $

Возведем первое уравнение в квадрат:

$$(a+b+c+d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2(ab + bc + cd + da + ac + bd).$$

Имеем:

$$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 300 = 400,$$

откуда

$$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 100.$$

Отнимем $10(a+b+c+d)$ и прибавим $100$:

$$(a-5)^2 + (b-5)^2 + (c-5)^2 + (d-5)^2 = 0.$$

Следовательно,

$$a = b = c = d = 5.$$

Ответ: $(5,5,5,5)$.