Математикадан жасөспірімдер арасындағы 11-ші Балкан олимпиадасы 2007 жыл, Шумен, Болгария
Дөңес ABCD төртбұрышында ∠DAC=∠BDC=36∘, ∠CBD=18∘ және ∠BAC=72∘ екені белгілі. Төртбұрыштың диагоналдары P нүктесінде қиылысады. APD бұрышының мәнін табыңыздар.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Опустим из точки C на диагональ BD прямую , такую что CX=CD , X∈BD , тогда четырехугольник AXCD описанный , откуда получаем BX=CX=CD. Можно попробовать дальше доказать так , AX,AP биссектрисы углов ∠BAP,∠DAX соответственно , тогда BXXP=ABAP XPPD=AXAD Получим , в результате умножение выше описанных соотношений BXPD=AB⋅AXAP⋅AD , выражение перейдет , в уравнение sin(∠DCA−36∘)=sin(108∘−∠DCA) , то есть ∠DCA=72∘ , тогда ∠APD=108∘
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.