Математикадан жасөспірімдер арасындағы 10-ші Балкан олимпиадасы 2006 жыл, Кишинёв, Молдова

Теңбүйірлі $ABC$ ($AB=AC$) үшбұрышында $BAC$ бұрышы $60^{\circ}$-тан кіші. $AC$ қабырғасынан $EB=ED$ және $\angle{ABD} = \angle{CBE}$ болатындай $D$ және $E$ нүктелері алынған. $\angle{BDC}$ және $\angle{ACB}$ бұрыштарының ішкі биссектрисалары $O$ нүктесінде қиылысады. $COD$ бұрышын табыңыздар.

Комментарий/решение

Из условия $\angle ABD+\angle DBE + \angle CBE = \angle DBE + 2\angle CBE$ . С одной стороны $\angle BAC = 180^{\circ} - 2( \angle DBE + 2\angle CBE)$ так как $AB=AC$ с другой , так как $EB=ED$ то $\angle BAC = 180^{\circ}-\angle ADB - \angle ABD = \angle DBE - \angle CBE$ , откуда $\angle ABE = 60^{\circ}$ . При этом условный треугольник существует $BAC<60^{\circ}$ .

Тогда $\angle COD = 180^{\circ} - \dfrac{\angle DBE + \angle ACB}{2} = 180^{\circ} - \dfrac{\angle DBE + 60^{\circ} + \angle CBE}{2} = 180^{\circ} - \dfrac{\angle ABE + 60^{\circ}}{2} = 120^{\circ}$

В середине решения написано что$\angle BAC=\angle DBE - \angle CBE$, но это не так, т.к. $\angle CBE$ больше $\angle$ DBE, а угол отрицательным не может быть.

к примеру треугольник с углами $\angle BAC=50^{\circ} , \ \angle ABC = \angle ACB = 65^{\circ}, \ \angle DBE = \angle BDE = 55^{\circ} , \ \angle CBE = \angle ABD = 5^{\circ}$