Processing math: 40%

Математикадан жасөспірімдер арасындағы 8-ші Балкан олимпиадасы 2004 жыл, Нови Сад Югославия


3x+4y және 4x+3y сандары бір мезетте толық квадрат болатындай x және y натурал сандары берілген. x және y сандарының әрбірі 7-ге бөлінетінін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
9 года назад #

Пусть 4x+3y=a2 и 3x+4y=b2. Сложив данные равенства, получим:

7(x+y)=a2+b2

a2+b27

Заметим, что n^2 \equiv \{0,1,2,4\} \pmod{7}, тогда a^2 \, \vdots \, 7, b^2 \, \vdots \, 7, откуда a^2 \, \vdots \, 49, b^2 \, \vdots \, 49, значит, 4x+3y \, \vdots \, 49, 3x+4y \, \vdots \, 49.

Складывая 4x+3y \, \vdots \, 49 и 3x+4y \, \vdots \, 49, получим, x+y \, \vdots \, 7, а вычитая, получим, x-y \, \vdots \, 7.

Складывая x+y \, \vdots \, 7 и x-y \, \vdots \, 7, получим, x \, \vdots \, 7, а вычитая, получим, y \, \vdots \, 7.

  0
2 года 3 месяца назад #

можно было просто сказать что 7 это число вида 4k+3 и простое и если сумма двух квадратов делится на это то оба числа тоже делятся а если квадрат делится на простое то и искомое число которое ставилось в квадрат также делится