Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2014 год

Докажите, что если целые положительные числа ${{n}_{1}}$, ${{n}_{2}}$, $\ldots$, ${{n}_{k}}$ удовлетворяют следующим соотношениям: ${{n}_{1}}|{{2}^{{{n}_{2}}}}-1$, ${{n}_{2}}|{{2}^{{{n}_{3}}}}-1$, $\ldots$, ${{n}_{k}}|{{2}^{{{n}_{1}}}}-1$, то ${{n}_{1}}={{n}_{2}}=\ldots ={{n}_{k}}=1$.