Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2014 год
Комментарий/решение:
Пусть точка S лежит на пересечении прямых CP и AE; N- проекция точки D на CP; H- проекция точки Q на CP; M- проекция точки P на CB; Также пусть ∠CAE=α;∠EAB=45−α; Примем AC=BC=x Выразим длины PQ и PB через x и α.
CE=ACtgα=xtgα;CD=CE=xtgα(по условию);DN=DCcosα=xtgαcosα=xsinα; DQ||CP (как перпендикулярные к одной прямой) , следовательно, DN=QH=xsinα. Отсюда PQ=QHcos(45−α)=xsinαcos(45−α)
AS=xcosα;AP=xcosαcos(45−α);BP=AB−AP=x√2−xcosαcos(45−α). Покажем, что BP=QP BP=x(√2−cosα√22cos(α)−√22sin(α)) приведем скобки к общему знаменателю. Получим BP=xsinα√22cos(α)−√22sin(α)=xsinαcos(45−α) что и требовалось доказать
Пусть F,G есть DQ, CP ∩AB соответственно, тогда из условия DE||AB также следует что DFEC вписанный, откуда ∠EFC=∠CDE=∠CAB=45∘ значит FG=CG. Опустив перпендикуляр BH на CP и учитывая что AC=BC получаем ΔACG=ΔHBC откуда BH=CG=FG, из подобия ΔAGP, ΔBHP получаем APPB=AGBH=AGFG или AQ+PQPB=AFFG+1=AQQP+1=AQ+QPQP откуда PB=QP .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.