Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2014 год


На катетах AC и BC равнобедренного прямоугольного треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно так, что CD=CE. Перпендикуляры к прямой AE, проходящие через точки C и D, пересекают сторону AB в точках P и Q. Докажите, что BP=PQ.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
6 года 8 месяца назад #

Пусть точка S лежит на пересечении прямых CP и AE; N- проекция точки D на CP; H- проекция точки Q на CP; M- проекция точки P на CB; Также пусть CAE=α;EAB=45α; Примем AC=BC=x Выразим длины PQ и PB через x и α.

CE=ACtgα=xtgα;CD=CE=xtgα(по условию);DN=DCcosα=xtgαcosα=xsinα; DQ||CP (как перпендикулярные к одной прямой) , следовательно, DN=QH=xsinα. Отсюда PQ=QHcos(45α)=xsinαcos(45α)

AS=xcosα;AP=xcosαcos(45α);BP=ABAP=x2xcosαcos(45α). Покажем, что BP=QP BP=x(2cosα22cos(α)22sin(α)) приведем скобки к общему знаменателю. Получим BP=xsinα22cos(α)22sin(α)=xsinαcos(45α) что и требовалось доказать

пред. Правка 2   2
6 года 8 месяца назад #

Пусть F,G есть DQ, CP AB соответственно, тогда из условия DE||AB также следует что DFEC вписанный, откуда EFC=CDE=CAB=45 значит FG=CG. Опустив перпендикуляр BH на CP и учитывая что AC=BC получаем ΔACG=ΔHBC откуда BH=CG=FG, из подобия ΔAGP, ΔBHP получаем APPB=AGBH=AGFG или AQ+PQPB=AFFG+1=AQQP+1=AQ+QPQP откуда PB=QP .