Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2013 жыл


Дөңес ABCD төртбұрышында мына қатынастар орындалады: DAB=ABC=60 және CAB=CBD. AD+CB=AB болатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
3 года 8 месяца назад #

1)Пусть BCAD=L

2)Теорема : треугольник со всеми равными углами является равносторонним

3) ΔABL равносторонний, так как ABC=60;DAB=60;

BLA=180(ABC+DAB)=1806060=60

4) Тогда примем AB=BL=AL=a

5) Пусть LC=x;LD=y; Тогда BC=BLCL=ax;AD=ALDL=ay

6) По условию CBD=CAB=φ

7) Рассмотрим ΔBDL. По теореме синусов

DLsinDBL=BLsinBDL

DBL=φ;BDL=180(60+φ)=120φ

Откуда имеем

ysinφ=asin(120φ)y=asinφsin(120φ)

8) Рассмотрим ΔABC. По теореме синусов

BCsinCAB=ABsinBCA

CAB=φ;BCA=180(60+φ)=120φ

Откуда имеем

axsinφ=asin(120φ)x=aasinφsin(120φ)

9) BC+AD=ax+ay=2a(x+y);

x+y=aasinφsin(120φ)+asinφsin(120φ)=aφ

Из выражения выше следует что

BC+AD=a=AB

Доказательство завершено

  4
3 года 8 месяца назад #

LBCAD то есть AB=BL=AL , возьмем на BL такую точку C что BC=AD тогда из условия Если DAC=x тогда BCA=BDA=120x то есть ACC=60+x но с другой стороны BCA=18060(60x)=60+x то есть AC=AC тогда CL=BC=AD то есть BC+AD=BC+BC=BC+CL=BL=AB.