Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2013 жыл
Дөңес ABCD төртбұрышында мына қатынастар орындалады: ∠DAB=∠ABC=60∘ және ∠CAB=∠CBD. AD+CB=AB болатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
1)Пусть BC∩AD=L
2)Теорема : треугольник со всеми равными углами является равносторонним
3) ΔABL− равносторонний, так как ∠ABC=60∘;∠DAB=60∘;
∠BLA=180∘−(∠ABC+∠DAB)=180∘−60∘−60∘=60∘
4) Тогда примем AB=BL=AL=a
5) Пусть LC=x;LD=y; Тогда BC=BL−CL=a−x;AD=AL−DL=a−y
6) По условию ∠CBD=∠CAB=φ
7) Рассмотрим ΔBDL. По теореме синусов
DLsin∠DBL=BLsin∠BDL
∠DBL=φ;∠BDL=180∘−(60∘+φ)=120∘−φ
Откуда имеем
ysinφ=asin(120∘−φ)⇒y=a⋅sinφsin(120∘−φ)
8) Рассмотрим ΔABC. По теореме синусов
BCsin∠CAB=ABsin∠BCA
∠CAB=φ;∠BCA=180∘−(60∘+φ)=120∘−φ
Откуда имеем
a−xsinφ=asin(120∘−φ)⇒x=a−a⋅sinφsin(120∘−φ)
9) BC+AD=a−x+a−y=2a−(x+y);
x+y=a−a⋅sinφsin(120∘−φ)+a⋅sinφsin(120∘−φ)=a∀φ
Из выражения выше следует что
BC+AD=a=AB
Доказательство завершено
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.