Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2012 год

На плоскости заданы две точки $A$ и $B$. Пусть $C$ — некоторая точка, равноудаленная от $A$ и $B$. Построим последовательность точек ${{C}_{1}}=C,{{C}_{2}},{{C}_{3}},\ldots ,{{C}_{n}},{{C}_{n+1}},\ldots$, где ${{C}_{n+1}}$ — центр окружности, описанной около треугольника $A{{C}_{n}}B$. При каком положении точки $C$:
a) точка ${{C}_{n}}$ попадет на середину отрезка $AB$ (при этом ${{C}_{n+1}}$ и дальнейшие члены последовательности не определены);
b) точка ${{C}_{n}}$ совпадет с $C$?

Комментарий/решение

1)Пусть последовательность содержит $N$ точек: $C_1,C_2,\ldots,C_N$. Также зададим прямую $l$ так, что $l$ - серединный перпендикуляр к отрезку $AB$

2)Начнем построение с точки $C_N$. Так как $C_N\in AB$ и $C_N\in l$, то $AC_N=BC_N$

3)Для построения точки $C_{N-1}$, требуется провести окружность $\omega_1$ с центром $C_N$ и с радиусом $R=AC_N$. Тогда положение $C_{N-1}$ будет

$C_{N-1} = l\cap \omega_1$

4)$\angle AC_1B = 90^\circ$, так как угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$

5)$C_{N-2}$ получим, построив окружность $\omega_2$, с центром $C_{N-1}$ и с радиусом $R=AC_{N-1}$.

$C_{N-2} = l \cap \omega_2$

6)Точка $C_{N-2}$ имеет $2$ положения, так как прямая $l$ дважды пересекает $\omega_2$. Пусть $\angle AC_{N-2}B$ - острый угол, а $\angle AC_{N-2}^{*}B$ - тупой.

7)$AC_{N-2}B = \dfrac{1}{2}\cdot AC_{N-1}B=\dfrac{90^\circ}{2^1}$. Это следует из соотношения вписанного и центрального углов, опирающихся на одну дугу.

8)Так как $AC_{N-2}BC_{N-2}^{*}$ - вписанный, то сумма противолежащих углов у него равна $180^\circ$

отсюда $\angle AC_{N-2}^{*}B = 180^\circ - \angle AC_{N-2}B = 180^\circ - \dfrac{90^\circ}{2^1}$

9)Повторяя процесс, получаем

$$\angle AC_{1}B = \dfrac{90^\circ}{2^{N-2}};\;\;\angle AC_{1}^{*}B = 180^\circ - \dfrac{90^\circ}{2^{N-2}};$$

Выражение (9) определяет все углы треугольника $\Delta AC_1B$, а значит, и положение точки $C_1$, для любых $N\ge 2$

Часть (а) решена.