Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2012 жыл


Кез келген x үшін (2x1)20(ax+b)20=(x2+px+q)10 теңдігі орындалатындай a,b,p,q сандарын табыңдар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   0
1 года 7 месяца назад #

Ответ a=(2201)1/20;b=5(2201)1/20;p=5;q=25

a=(2201)1/20;b=+5(2201)1/20;p=5;q=25

______________________________________________________________________

1)Пусть f(x)=(2x10)20=v20x20+v19x19++v1x+v0

Тогда v20=220

2)Пусть g(x)=(axb)20=w20x20+w19x19++w1x+w0

Тогда w20=a20

3)Пусть φ(x)=(x2+px+q)10=x20++q10. Так как f(x)g(x)=φ(x), то

v20w20=1

4)Из (3) вычислим значение a

w20=v201=2201a=(2201)1/20

5)Заметим, что f(5)=0;g(5)0;φ(5)0

f(5)g(5)0;φ(5)0

Равенство левой и правой частей возможно только при g(5)=0;φ(5)=0

6)Из (5) следует |a5+b|=0b=5a=5(2201)1/20

7)Уравнение f(x)g(x) имеет один корень x=5. Поэтому, для равенства правой и левой частей уравнения при любых x, и правая часть должна иметь один корень

Значит, φ(x)=(x5)20=(x25x+25)10

8)Теорема: Если два многочлена одной степени имеют равные старшие коэффициенты, а также все корни у них совпадают, то такие многочлены равны.

Доказательство: Разложим два таких многочлена на множители

f1=C1(xx1)(xx2)(xxN)

f2=C2(xx1)(xx2)(xxN)

Так как C1=C2, то f1=f2

9)Из (8) следует, что

(2x10)20((2201)1/20x5(2201)1/20)20=(x25x+25)10