Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2012 жыл
Комментарий/решение:
Ответ a=(220−1)1/20;b=−5⋅(220−1)1/20;p=−5;q=25
a=−(220−1)1/20;b=+5⋅(220−1)1/20;p=−5;q=25
______________________________________________________________________
1)Пусть f(x)=(2x−10)20=v20x20+v19x19+…+v1x+v0
Тогда v20=220
2)Пусть g(x)=(ax−b)20=w20x20+w19x19+…+w1x+w0
Тогда w20=a20
3)Пусть φ(x)=(x2+px+q)10=x20+…+q10. Так как f(x)−g(x)=φ(x), то
v20−w20=1
4)Из (3) вычислим значение a
w20=v20−1=220−1⇒a=(220−1)1/20
5)Заметим, что f(5)=0;g(5)≥0;φ(5)≥0
f(5)−g(5)≤0;φ(5)≥0
Равенство левой и правой частей возможно только при g(5)=0;φ(5)=0
6)Из (5) следует |a⋅5+b|=0→b=−5a=−5⋅(220−1)1/20
7)Уравнение f(x)−g(x) имеет один корень x=5. Поэтому, для равенства правой и левой частей уравнения при любых x, и правая часть должна иметь один корень
Значит, φ(x)=(x−5)20=(x2−5x+25)10
8)Теорема: Если два многочлена одной степени имеют равные старшие коэффициенты, а также все корни у них совпадают, то такие многочлены равны.
Доказательство: Разложим два таких многочлена на множители
f1=C1(x−x1)(x−x2)…(x−xN)
f2=C2(x−x1)(x−x2)…(x−xN)
Так как C1=C2, то f1=f2
9)Из (8) следует, что
(2x−10)20−((220−1)1/20⋅x−5⋅(220−1)1/20)20=(x2−5x+25)10
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.