Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2012 год
Комментарий/решение:
1) Введём систему координат: Ax∥AD;Ay⊥AD. В этой системе координат A(0;0);B(a;b);C(c;b);D(c−a;0)
2) По условию, PR∥BD;RQ∥AC. Поэтому, ∠APR=∠ABD (как односторонние при параллельных прямых). Аналогично ∠DRQ=∠DAC.
3) Из (2) следует подобие треугольников: △APR∼△ABD;△DRQ∼△DAC
4) Из подобия треугольников (см.(3)) имеем
DARA=BAPA
5) Домножим числитель и знаменатель выражения (4) вначале на cos∠BAD, а затем на sin∠BAD.
BAPA=BA⋅cos∠BADPA⋅cos∠BAD=XBXP
BAPA=BA⋅sin∠BADPA⋅sin∠BAD=YBYP
Аналогично
ADRD=CQDQ=XCXQ=YCYQ
6) Используем выражения (4,5) для нахождения координат точек P и Q
c−ad=XBXP=aXP→XP=a⋅dc−a
YBYP=XBXP→YP=YB⋅XPXB=b⋅a⋅dc−aa=b⋅dc−a
Координаты точки P найдены.
c−ac−a−d=XCXQ=cXQ→XQ=c(c−a−d)c−a
YCYQ=XCXQ→YQ=XQ⋅YCXC=c(c−a−d)c−a⋅bc=b⋅(c−a−d)c−a
Координаты точки Q найдены.
7) Площадь треугольника S△PBR может быть посчитана при помощи векторного произведения векторов
S△PBR=12⋅|→RP×→RB|
Аналогично рассчитаем площадь S△CRQ
S△CRQ=12⋅|→RC×→RQ|
8) Известны все нужные координаты, осталось найти вектора.
→RP=(a⋅dc−a−d;b⋅dc−a)=(2ad−dcc−a;b⋅dc−a)
→RB=(a−d;b)
→RC=(c−d;b)
→RQ=(cc−a⋅(c−a−d);bc−a⋅(c−a−d))
9) Рассчитаем векторные произведения
S△RPB=12⋅|→i→j→k2ad−dcc−abdc−a0a−db0|
S△RPB=12⋅(c−a)⋅|→k⋅(b⋅(2ad−dc)−bd⋅(a−d))|=bda−bdc+bd22(c−a)
S△RPB=bd2⋅(c−a)⋅(a−c+d)
10) Расчёт векторного произведения
S△RCQ=12⋅|→i→j→kc−db0c(c−a−d)2(c−a)b(c−a−d)2(c−a)0|
S△RCQ=c−a−d2⋅(c−a)⋅(b⋅(c−d)−bc)
S△RCQ=bd2⋅(c−a)⋅(a−c+d)
11) Очевидно из (9,10), что искомые площади равны.
По теореме Фалеса для треугольников DRQ,DAC получается CQDQ=ARDR так же и для APBP=ARDR откуда APBP=CQDQ или ABBP=ABDQ откуда BP=DQ
Проведем высоты RE,RF из вершины R на соответственные стороны AB,CD из подобия треугольников REA,RDF получается RERF=ARDR но BPCQ=ARDR=RERF или RF⋅BP=RE⋅CQ значит SPBR=SQCR
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.