Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2012 год


На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка R, а на сторонах AB и CD точка P и Q соответственно так, что отрезки PR и QR параллельны диагоналям параллелограмма. Докажите, что площади треугольников PBR и QCR равны.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
4 года 7 месяца назад #

1) Введём систему координат: AxAD;AyAD. В этой системе координат A(0;0);B(a;b);C(c;b);D(ca;0)

2) По условию, PRBD;RQAC. Поэтому, APR=ABD (как односторонние при параллельных прямых). Аналогично DRQ=DAC.

3) Из (2) следует подобие треугольников: APRABD;DRQDAC

4) Из подобия треугольников (см.(3)) имеем

DARA=BAPA

5) Домножим числитель и знаменатель выражения (4) вначале на cosBAD, а затем на sinBAD.

BAPA=BAcosBADPAcosBAD=XBXP

BAPA=BAsinBADPAsinBAD=YBYP

Аналогично

ADRD=CQDQ=XCXQ=YCYQ

6) Используем выражения (4,5) для нахождения координат точек P и Q

cad=XBXP=aXPXP=adca

YBYP=XBXPYP=YBXPXB=badcaa=bdca

Координаты точки P найдены.

cacad=XCXQ=cXQXQ=c(cad)ca

YCYQ=XCXQYQ=XQYCXC=c(cad)cabc=b(cad)ca

Координаты точки Q найдены.

7) Площадь треугольника SPBR может быть посчитана при помощи векторного произведения векторов

SPBR=12|RP×RB|

Аналогично рассчитаем площадь SCRQ

SCRQ=12|RC×RQ|

8) Известны все нужные координаты, осталось найти вектора.

RP=(adcad;bdca)=(2addcca;bdca)

RB=(ad;b)

RC=(cd;b)

RQ=(cca(cad);bca(cad))

9) Рассчитаем векторные произведения

SRPB=12|ijk2addccabdca0adb0|

SRPB=12(ca)|k(b(2addc)bd(ad))|=bdabdc+bd22(ca)

SRPB=bd2(ca)(ac+d)

10) Расчёт векторного произведения

SRCQ=12|ijkcdb0c(cad)2(ca)b(cad)2(ca)0|

SRCQ=cad2(ca)(b(cd)bc)

SRCQ=bd2(ca)(ac+d)

11) Очевидно из (9,10), что искомые площади равны.

  4
4 года 7 месяца назад #

По теореме Фалеса для треугольников DRQ,DAC получается CQDQ=ARDR так же и для APBP=ARDR откуда APBP=CQDQ или ABBP=ABDQ откуда BP=DQ

Проведем высоты RE,RF из вершины R на соответственные стороны AB,CD из подобия треугольников REA,RDF получается RERF=ARDR но BPCQ=ARDR=RERF или RFBP=RECQ значит SPBR=SQCR