Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2012 год

В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $BC$ а точки $N$ и $H$ — основания высот, проведенных к сторонам $AB$ и $AC$ соответственно. Известно, что $\angle NMH=\angle ABC$ и $AC=8$ см. Найдите длину отрезка $NH$.

Комментарий/решение

Интересно, я тут самое слабое звено на сайте, или есть ребята, кому пригодится решение такой простой задачи?

1)Теорема - центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит ровно на середине гипотенузы

2)По теореме 1:$BM=MN=MH=MC$

3) Из (2) - треугольники $\Delta BMN,\Delta MHC$ - равнобедренные, а значит углы при основании этих треугольников равны $\angle MBN=\angle MNB=2x;$

4)$\angle BMN=180^\circ-2x-2x=180^\circ-4x$

5)$\angle HMC=180^\circ-(180^\circ-4x)-2x=2x$

6)Из равнобедренности $\Delta MHC$: $\angle MCH=0.5\cdot (180^\circ-2x)=90^\circ-x$

7)$\angle BAC=180^\circ-(90^\circ-x)-2x=90^\circ-x$

8)Из (7) $\Delta BAC$ - равнобедренный, а значит, высота, проведенная к основанию, поделит его пополам

9)Из (8): $AH=AC=8/2=4$

10)применив теорему 1 к $\Delta ANC$, получаем $AH=NH=CH=4$

Ответ: $4$

На самом деле, ты можешь просто оставлять записи а не записывать все решение сразу. По типу: «по счету углов понятно что..», это бы гораздо укоротило твои решения и они стали бы менее пугающими